Question

あみ

この回答はZとWをそれぞれaとbというふうに置いていますがxやyをaとbなどというようにしてもいいのでしょうか。この問題に限らず毎回文字を任意の数でおく系統の問題の時、解答と答えが違うことが多々あるので解答よろしくお願いします。

0 -1/ lo -1
リー2z+3w=0
例題11-4 (基底と次元)
125
次の同次連立1次方程式の解空間 Wの基底と次元を求めよ。
x+y-z+w=0
3x+y+z-3w=0
2x+y-w=0
「経説 次の条件(i),(i)を満たす al, a., ….
(i) Vは ai, @2, …, anによって生成される
a,をVの基底という。
(ü) a1, a2,
…, an は1次独立
「解答 係数行列を行基本変形すると,
11
-1
1
1 -1
0 -2
1
/1
1
-1
3 1
1 -3
4 -6
1
-2
3
\2 1
0 -1
0-1
2 -3
0 -1
2 -3)
10
1 -2
x
10
1 -2
0 1
-2
3
よって,与式は|0 1
-2
3
三
る
10 0 0 00
0 0 0
0
W
「x+z-2w=0
リ-2z+3w=0
すなわち,
←係数行列の階段行列からきちんと判断
-a+26
2
x
2
+b
1
3
(a, b は任意
0
2a-36
y
したがって, 解は,
= a
a
b
0
W
-3
2
以上より,Wの基底は
1
次元は2である。 答]
0
0
解答はn?4
II

線形代数 基底

Answer 1

躑躅

置いても良いですが、今回の場合にはx,yがzとwを用いて書けているので、多分そうしてるだけだと思います。
解答と任意変数が異なる場合は基底も異なるので確認は必要ですが...

あみ

基底の確認は規定を生成しているa1やa2(今回の問題で言う(-1 2 1 0)など)が一次独立であるということを確認するということでしょうか？？？

躑躅

一次独立も必要ですが、
x,yを変数とした場合で求めた基底　と
z,wを変数とした場合で求めた基底　
で得られる線型空間が同じであれば、変数の置き方が違っても答えとしてはあってるということでした。

あみ

丁寧にありがとうございました。
また機会が有ればよろしくお願いします