曲線C:y=x°+ax'+bx+cと放物線 y=-x?+x+1が点(1, 1) において共通な接
をもつとき,b=アイ |aー ウ, c=a+
である。
エ
さらに,この共通な接線と曲線Cが点 (1, 1)以外に共有点をもたないとき a=|オカ
b= キ
-| ク
である。
C=
解答 (アイ) -2
(ウ) 4
(エ) 4
(オカ) -3
(キ)2
(ク) 1
解説)
f(x) =x°+ax°+ bx+c, g(x) =ーパ+x+1 とおくと
ーメずズ·よ同じに
f'(x) =3x°+2ax+b, g'(x) = -2x+1
f(1) =g(1), f'(1) =Dg'(1)
条件から
よって
1+a+b+c=1 すなわち a+b+c=0 ①,
3+2a+b=-1 すなわち 2a+b=-4 ②
の, 2 から
また,共通な接線の方程式は
この共通な接線と曲線Cが点(1, 1)以外に共有点をもたないことから, 方程式
→ x+ax?+bx+c=-x+2 すなわち x°+ax'-(2a+4)x+a+4=-x+2 … 6)
b=-2a-4
3, c=a+4
の
yー1=(-2-1+1)(x-1) → すなわち
y=ーx+2
5
はx=1 を3重解にもつ。 三次方手星式
6を整理すると
やplら.
x°+ax°-(2a+3)x+a+2=0
a
所は3つあるしはすやけど、(1に1)りタトに。
角はいらズ1Dド3要解になる
よって
(x-1)(x+a+2)=D0
ゆえに
x=1, -a-2
x=1 を3重解にもつから
これを3, のに代入すると
ーa-2=1
これを解くと
a=-3
b=2, c=1
