Question

ゆゆゆ

書き込みは無視して大丈夫です。
なぜ、重解を求めると最大値、最小値が求まるのか分かりません。

174
2変数関数の最大最小 (4)
実数解の条件利用
4次不等
O0
重要例題 115
基本 94
重要
実数x, yがx+y°=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。また。そのときのx, yの値を求めよ。
(類南山大)
S0
指針>
2x+yはx. yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいようにy=t-2x として yを消去し, x+y°=2 に代入すると
*+(t-2x)?=2となり, xの2次方程式 になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ→ D20
日T>条件式は文字を減らす方針でいきたいが、 条件式x+y=2から文字を減らしても。
CH
の利用。
CHART
最大·最小 =tとおいて, 実数解をもつ条件利用
解答
2x+y=t とおくと
これをx+y°=2に代入すると
参考 実数 a. b. x, yにっ
いて、次の不等式が成り立っ
(コーシー·シュワルツの不
ソ=t-2x
+(t-2x)°=2
5x?-4tx+t?ー2=0
等式)。
(ax+by)<(α+6)(+y)
[等号成立は ay=bx]
a=2, b=1を代入すると
(2x+y)s(22+1°)(x+y)
x°+y°=2 であるから
(2x+y)°<10
整理すると
このxについての2次方程式② が実数解をもつ条件から, ②
の判別式をDとして
D
ー=(-2t)-5(ー2)=-(f-10)20
4
ゆえに
t-10<0
よって
ーV10 Sts/10
よって
-4t
t=±/10 のとき D=0 で, ② は重解r=-
2.5
をもつ。
2t
5.
-10 S2x+yハ、10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして、 左と同じ答
えを導くことができる。
2/10
t=±/10 のとき x=±
5
V10
のから y=±
5
(複号同順)
2/10
したがって r=
V10
ソ=
5
のとき最大値(10
5
2/10
xミー
5
V10
のとき最小値 - 10
リミー
5
25
D-0 当
実数x, yがx°-2xy+2y°=2を満たすとき
5 (1) xのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
(2) 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 ー

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

まちや

グラフで考えると円と直線が書けますが、
それが接するとき(重解)にtが最大最小になるからです

Answer 2

みみみ

2x＋y＝tとしているので、ここではtの最大最小を求めましょってことっすよね
つまり、円の中で直線tとの共有点を持つことから、
判別式D≧0となります