Question

さつまりこ

数3 極限の問題です。
公式や解き方はなんとなくわかるのですが、自信がないので教えていただきたいです！
よろしくお願いします🙇‍♂️

sin 3h -3sin 2h+3sinh
lim
h→0
h3

極限

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

LUX SIT

0/0の不定形です. まずはsin(3h)=3sin(h)-4sin^3(h)で(sin(h)/h)^3がh->0で1に収束することはすぐ分かるでしょう.
そこでsin(h)だけの式に揃え, 残りの項については適宜変形していくという方針をとることにしましょう.
***
2倍角, 3倍角の公式から
sin(3h)-3sin(2h)+3sin(h)=(3sin(h)-4sin^3(h))-3(2sin(h)cos(h))+3sin(h)=-4sin^3(h)+6sinh(1-cos(h))
半角公式を使うと
sin(3h)-3sin(2h)+3sin(h)=-4sin^3(h)+6sin(h)*2sin^2(h/2)
したがって
{sin(3h)-3sin(2h)+3sin(h)}/h^3=-4(sin(h)/h)^3+3(sin(h)/h)(sin(h/2)/(h/2))^2
と変形することができます. h->0でsin(h)/h, sin(h/2)/(h/2)はそれぞれ1に収束するから
lim[h->0] {sin(3h)-3sin(2h)+3sin(h)}/h^3=-4*1^3+3*1*1^2=-1です.

さつまりこ

お返事遅くなってすみません。
詳しく教えてくださりありがとうございます！