Question

塩

解説お願いします。

2乗して3+4i となる複素数 z=a+biは2つあり, a,bはともに整数である。このよ
うな複素数 2を求めよ。

2次方程式 複素数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鹿

z=a+bi より z² = (a²-b²)+2abi
3+4i と比較して a²-b² = 3、2ab = 4
これより (a,b) = (2,1),(-2,-1)
よって z = 2+i、-2-i

塩

何故、1行目の式になるのですか？

鹿

普通に2乗しただけです
(a+bi)² = a²+2abi+b²•(-1) = (a²-b²) + 2abi

眺めて分からなければ自分で手計算してみてください

塩

ありがとうございました。

Answer 2

eratos2357

z^2=(a^2-b^2)+2abi
=(a+b)(a-b)+2abi
であるから、
条件より、
(a+b)(a-b)=3…①かつ2ab=4…②
②より、
ab=2
a,bは整数より、
(a,b)=(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)
この中で、①を満たすものが答えとなる。
よって、
(a,b)=(-2,-1),(2,1)…(答)

eratos2357

すみません。zを求めるのでしたね。
z=-2-i,2+i
となります。

塩

ありがとうございました