Question

なちゲスト

答えの中のkはなぜ自然数じゃないと駄目？
負の数は駄目?小数は駄目なの？

ことを用い。
75
43 V3 が無理数であることの証明
OOO0
しであること
基本例題
「っは整数とする。 nが3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真で
項7
ある。これを利用して,V3 が無理数であることを証明せよ。
基本 42
CHARTOSOLUTION
ふ 10
直接がだめなら間接で 背理法
証明の問題
が無理数でない(有理数である)と仮定する。このとき, 『3=r(rは有理
と仮定して矛盾を導こうとすると, 「V3=r の両辺を2乗して, 3=r」とな
が有効。
2章
nここで先に進めなくなってしまう。 そこで, 自然数a, bを用いて 『3=
6
(既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。
解答
み盾を導く。
V3が無理数でないと仮定する。
このとき(3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数
否定すると
一既約分数:できる限り
約分して, aとbに1以
をもたない2つの自然数 a, bを用いて, V3%=D と表される。
a=V36
a=36°
外の公約数がない分数。
inf. 2つの整数a, bの最
大公約数が1であるとき,
aとbは互いに素である
という(数学A参照)。
*下線部分の命題が真で
あることの証明には対
ゆえに
里数の和両辺を2乗すると
に有理よって, α'は3の倍数である。
差 が3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, んを自然数と
して a=3k と表される。
は限らない
これをOに代入すると
偶を利用する。
種数ならば分数で決る
すなわち
6°=3k?
9°=36°
よって, °は3の倍数であるから, bも3の倍数である。
ゆえに,aとbは公約数3をもつ。
]これは,aともが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,/3 は無理数である。
30
=3
1.5- 3 )
2
例題で真であるとした命題「n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である」の逆も真で
ある。また,命題「n°が偶数(奇数)ならば, nは偶数(奇数)である」および, この逆
も真である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使
われるので,覚えておこう。
INFORMATION
雨題「nは整数とする。 n°が7の倍数ならば, nは7の倍数である」は真である。こ
れを利用して,/7が無理数であることを証明せよ。
PRACTICE…43°
43

Answer 1

tra7345

ｋはａが３の倍数であることを示すための記号です。
ａが自然数ですから
ａ＝３ｋとしてｋも自然数でないとおかしいのです。
ａは自然数なのでｋが負なら成り立ちません
ｋが小数ならａが３の倍数にならないです（ｋ＝０．５だとａ＝１．５で３の倍数にならない）

だったらａが自然数でなければいいと考えるかもしれませんが
まる１で両辺を２乗できる根拠がａ，ｂが自然数であることですので
（ａ＝√３ｂでａ＞０，√３ｂ＞０なので両辺を二乗することが可能になる）
これを整数とすることもできないわけです。
したがって、ｋは自然数でなければならないということになります

tra7345

ｋが自然数でなければならないのはなぜか
負の数や小数ではなぜいけないか

いい視点だと思います。おおいに疑問を持ってください