366 数学A
[1]と同様に考えて
P-1=12-2m+24(k+1)°=24(m+(k+1)}
したがって、P2_1 は24で割り切れる。
00
EX
83
a, bを実数とし, 整式 f(x)=x°3+ax+bx を考える。
(1) a, bをf(1), f(-1)を用いて表せ。
(2) f(1)とf(一1)がともに整数であれば, すべての整数n に対して, f(n) も整数となること
を証明せよ。
【関西大)
(1) f(1)=1+a+b, f(-1)=-1+aーbであるから
a+b=f(1)-1 0, a-b=f(-1)+1
2
そa, bの連立方程式を
の+2 から 2a=f(1)+f(-1)
f(1)+f(-1) |解く。
ゆえに
a=
2
の-のから 26=f(1)-f(-1)-2
6=f(1)-f(-1)-2
2
ゆえに
(2)(1)から, 整数nに対して
f(n)=パ+(1)+f(-1) ,2+
そf(x)
2
2
n
ニx+(1)+(-
n(n-1)
2
=n°+
2
-n
n(n+1), n(n-1)は連続する2整数の積であるから,ともに2
2
の倍数である。
n(n+1) n(n-1)
2
よって,
は整数である。
2
したがって,f(1), f(-1)がともに整数であれば,すべての整 ←n', -nも整数。
数nに対して,f(n) も整数となる。
F
ありがとうございます！
助かりました。