Question

ペンローズ

3枚目の(1.2.7)や(1.2.8)はどのように出てくるのでしょうか？

ホロノーム系と非ホロノーム系
拘束条件は一般に微分形で与えられる。 力学変数をa' (i=1~N) とすると, 拘束
条件は次のように表される:
W。= Qai(z, t)de'+ ba(2,t)dt =D 0, (a=1~b)
ここでaは拘束条件の番号を表す添字で, kは拘束条件の数である。aai と bail
と時間tの関数で, aai(z,t) は aai(2', 2?, … … aN,t) の略記である. また同一項
で上付き添字と下付添字の現れる場合はその添字について和を取るものとする (和)
号とを省略).したがって, 上式ではiについて1から Nまでの和を取る。
Weのうちで独立でないものは落とし, Waはすべて独立とする.これら w。のうち
で積分可能なものがあれば, その拘束条件を積分形で表す方が便利なことが多いそ
こで,積分可能なものは積分し
9u(z,t) = Cu, (μ=1~m)
と表そう.Cu は積分定数であり, m は積分可能な拘束条件の数である。積分可能で
ない残りの拘束条件は
W。 = aoi(x,t)de" + b。(x,t)dt' = 0 (0=1~k-m)
となる。この場合, 力学系の拘束条件は (1.2.2) と (1.2.3) で与えられることになり,
自由度は N-kである. 3次元空間の中の n質点系の場合は,当然 3n-kとなる。
すべての拘束条件 (1.2.1) がすべて積分可能な場合,つまりk=mのとき, この糸
をホロノーム系 (holonomic system) といい, 積分不可能な拘束条件のある場合を非
ホロノーム系という。
ホロノーム系の簡単な例は, 1質点が2次元曲面上に束縛されている場合である。
例題1.1. 曲面上の運動
曲面への法線成分を n; とすると, 質点の運動は法線に垂直であるから, 拘束条件は
w= n;da° = 0

である。その曲面の方程式を
9(r',°,ポ)%=Dc
とすると,
n; = Og/0
である。この(1.2.6) を (1.2.4) に代入すれば, 直ちに積分できて (1.2.5) をえる. こ
れが積分形の拘束条件である.したがって, この系の自由度は3-1=2である。
n
g(x)=c
dx
図1.1
非ホロノーム系の例は, 滑らかな平面上を滑らずに転がる球の運動である。
剛体の運動を記述するのに便利なオイラー角を用いて拘束条件を表す(1). 平面上
る
a
小量18
X
図1.2

の球の状態を指定するのに,中心の位置 2, 9, 球の向きを決めるオイラー角0, φ,
pの5変数が必要である. 半径aの球が滑らない条件は次の2つである。
a(cos pd0 + sin0sin pd)) =D 0
W2 = dy + a(sin pd0 - sin0cos pdb) = 0
W1= de -
この2つの拘束条件は積分可能でない、その証明は微分形式を用いれば簡単である
か,通常の方法では面倒であり, 以下の話しに必要ないので省略する(証明は文献2
参照)、
積分可能な拘束条件は,それを用いて拘束条件の数だけの力学変数を消去できるの
で,力学変数の数を減らすことができる,すなわち, 自由度の数を減少できる。
(1.2.2) の拘束条件 gu(x,t) = Cuをm個の2' について解けば, その m個の変数を
消去できる.ホロノーム系の場合は, k=m個の拘束条件を用いて, k個の力学変数
(従属変数)を消去し, 拘束条件をすべてなくすことができる。
拘束条件による従属変数を消去する便利な方法は, 変数を αから一般座標qに変
換し,
→ g
k個の変数qを
7100
am t)=e

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

dyの符号が違いますが、オイラー角の定義の流儀(いくつかある)の差によるものなのか、計算ミスなのか、誤植なのか、不明です。

オイラー角を使った回転行列
https://risalc.info/src/euler-angle.html

オイラー角 回転行列 角速度 束縛運動 非ホロノミック

Crystal Clear

計算過程

Crystal Clear

もう少し単純に求まりました。
回転行列を使うのなら、角速度を経由する必要はなかったです