検討がつかないのでとりあえず比べやすそうなものから処理していきます。3√3と5+1/3は2乗してその値を比べてやればいいだけです。その結果、5+1/3の方が大きいとわかります。そのつぎに、√19+1か5√2-2と5+1/3を比べますが、なんとなく5√2-2の方が計算しやすそうなのでこっちにします。
-2がめんどくさいので+2してやれば、5√2と22/3になります。それぞれ2乗して結果を比べれば、5√2-2の方が大きいとわかります。
あとは√19+1と5√2-2の決勝戦です。ここで困るのが足しても引いても両方多項式を単項式にできないことです。仕方ないので-1して√19の方を単項式にします。すると5√2-3と√19の大小比較になります。このまま2乗します。すると、59-30√2と19の大小比較になります。もう一回2乗すれば√2が消えてくれるのでそれでもいいですが、ちょっと大変ですよね。大小を知りたいときには引き算してやってその符号を判定するという方法があり、それを使います。
(59-30√2)-19=40-30√2が正ならば59-30√2の方が大きいし、負ならば19の方が大きいといえます。
これを調べるには40と30√2の大小比較をすればよいですね。2乗してやって1600と1800です。30√2の方が大きいので、負であることがわかりました。つまり、もとを辿っていくと、59-30√2<19
5√2-3<√19
5√2-2<√19+1
となり、答えが出ます。
2乗して大小比較ができる形に持っていくのがポイントです。
解答
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ちなみに、√19の方にあわせたのは、適当ではありません。
展開したときに●√19の形が表れるよりは●√2の形が表れた方が計算が楽だからです。実際にやると、2乗により50と28+6√19になり、引き算してやれば23と6√19の比較になるため、23の2乗と36×19なのでめんどくさくなります。
それに、√2の方なら頑張れば近似値1.41で計算可能です。