【高3】Z8：ベクトル ☡✍︎*.ﾟ4月進研記述模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High3

▷ 2025年度4月自学

2026.04.13 公開

高3 数学c ベクトル進研記述模試過去問赤城ベクター vector 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

1
Z 8 △OAB において, OA =4, OB=3, COS ∠AOB
6
である。 辺 OA を5:1 に内分する点を C, 辺OB を 5:4に
内分する点をDとする。 また, OA=a, OB = b とする。
(1) 内積 α・bの値を求めよ。 また, CD を a, b を用いて表せ。
(2)辺 ABの中点をMとし, 直線 OM と直線 CD の交点をP
OPを
とする。 OP を a, b を用いて表せ。
(3)(2)のとき, 線分 PD の垂直二等分線と直線AB の交点を Q
とする。OQ を a, b を用いて表せ。
(配点 40)

ページ2:

令和7年度 4月進研記述高3 模試 @自学
(1) 内積の定義により
a・b = 4x3x
= 2劄
1
4
3
A
5
5
5
5
► OC
==
OA
= a,
OD
=
OB
=
-b
6
9
始点の統一により
CD
=
=
OD-OC
56-
9
5-
6
||
56
→
a+
①
-b
A
5-9
・B
(5)
D
B

ページ3:

(2)
2直線の交点 OPを二通りの式で表して係数比較
□ 3点 0, P, Mは一直線上にあるから
共線条件により
OP=kOM (k: 実数 )
ここで, 内分点の位置ベクトルにより
10A + 10B
OM =
P
1+1
A
B
=
1
M
+
-b
2
2
1
=
2
-ka+-kb
2
よって OP
①
□ 点Pは線分 CD をs : (1-s) に内分する点とすると
OP = (1-s)OC + SOD
=
5
←
5
(1-s)a +=sb
②
aとbは一次独立だから、 ①と②の係数をみくらべて
5
-k =
(1-s),
k
= S
2
6
2
これらを連立方程式として解くとk
||
=
5923
,
1 2 1 2
よって
OP
すなわち
OP
=-x-a+ × .b
23
1
= a+ b
3
23
→
1
3
S
3-5
==

ページ4:

3
□ 点Qは線分ABをt:(1-t)に内分するとすると
0Q = (1-t)OA + fOB = (l-t)a+tb……※
OQ= (1-1)OA+fOB
□ 線分 PD の中点をN とすると
10P+10D 1
→
1
5
ON =
==
+
.b + - x
1+1
23
29
=
4
.b
5
NQ=OQ-ON
5
=
a+
6
5
□ (1)より CD
---
·a+
6
.b
9
NQ⊥CD だから,ベクトルの垂直条件によりNQ・CD = 0
よって
4
--
5
→
a+ b=0
5
9
182
両辺に -をかけて
5
整理すると
15-181)a+(18t-8)}(-3a+2)=0
(-45 + 54t)|a|? +(54-90t)ab+(36t-16)|6|2=0
|a|=4,|b|=3,a・b=2を代入して
(-45+54t)×42 + (54-90t)×2+(36t-16)x32 = 0
この1次方程式を解くと･･･
3
t=-
4
これを※に代入して
3
3-
=
--
la +
4
よって
OQ
=
4
3
a+ b A
4
P
D
B
M