ページ3:

(2) 後半
円Cと接線 l の接点をD(a, b)とする。
Dは円C上の点
2
a² +b² = 5
2
D を通る円 C の接線
→ これが B を通る
①
ax + by = 5 円の接線公式････※
5a +5b = 5.a+b=1
②を①へ代入してαを消去 (1-b)2+62 = 5
...b=-1, 2
b=-1
a
=
2
...... ②
A ぢゃない方 b≠2より
これと②より
これらを※に代入すると
2x-y=5
A
l
0
D

ページ4:

(3) 直線 OB の方程式
y=x
→ 円Kの中心をM (m, m)とおく。 (0≦m ≦ 5……①)
直線 OA:2x + y = 0 / 直線 AB:x-2y+5=0
→ M から OA, AB への距離が等しいから両方に接する
|2m+m|
m-2m+5
1. |3m|
=
|-m+5|
√22 +12
√2+(-22)
..3m = ±(−m +5)
5
∴.m= (①)
4
5
5
よって、 円 K の中心の座標はM(
-)。
4
4
5
13×
4
3√5
2乗
また、円 K の半径は
√5
4
5
5
したがって、 円 K の方程式は
X
+ y
=
4
4
45
16

ページ5:

2022年度 1月 高2 進研模試 自学 @Akagi
【必答問題】
B4 α bは定数とする。 座標平面上に2点A(4, 6), B(a, -2)
があり, 線分ABの中点がC(1, b)である。 また, 点Cを中心
とし,点Aを通る円を Kとする。
(1) α, bの値を求めよ。
(2)円Kの方程式を求めよ。 また, 点Aにおける円 K の接線lの
方程式を求めよ。
(3)(2)で定めた接線lと y 軸の交点をDとし, y 軸に関して点 A
と対称な点をEとする。 点Pが円K上を動くとき, DEP の
面積の最大値と,そのときの点Pの座標を求めよ。 (配点 20)

ページ6:

4+a
自学@Akagi
2022年度
6+(-2)) = (1, b) より α = -2,b= 2
(1)
,
2
2
内分点の公式
(2) C (1, 2)
a
円 K:(x-1)+(y-2)^=r2 (r> 0) ……①
①に A(4,6)を代入 (4-1)^+ (6-2)^ =r2
よって
r=5 (r>0)
K:(x-1)^+(y-2)^=25
また、接線 l の方程式は (4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25
接線公式2
よって3x+4y-36=0

ページ7:

(3) お絵かきすると
△DEP の面積が最大
F
→Cを通り、 DE と垂直な直線と円との交点がPo
◆DE の長さ
DE=√(0+4)2 + (9-6)²=5 底辺 B
◆PF の長さ(=三角形の高さ) ◆
©Akagi
6-9
直線 DE: y-9=
(x-0)
...3x-4y+36=0
-4-0
•
CF の長さ(Cと直線 DE の距離): CF:
|3×1-4×2+36|
=
√32 + (-4)2
・PCの長さ=円の半径= 5
31 56
よって PF = PC + CF = 5+ =
5
高さ
5
したがって、△DEP の面積の最大値は
56
5×
÷2=28
5
31
5

ページ8:

◇円Kの方程式
アイへ代入
(3) 後半
4
◇直線 CF の方程式 y-2=-2(x-1)
4 10
... y=-2x+
3
3
(x-1)2 +(y-2)^ = 25
4 10
(x-1)+(--x+
ア
①
-2)^=25
3
3
展開して整理
x²-2x-8=0
2次方程式を解く
x=-2, 4
F
E.
A
図から、 P の x 座標は x = 4
4
10
アに代入
y=-- ×4+
-2
3
3
©Akagi
B
よって
P(4, -2)

ページ9:

2021年度 11月 高2 進出演試 自学 @Akagi
【必答問題】
B4 座標平面上に, 点A(1,2)を通り原点 0を中心とする円 C,
と, 点 A を通る円 C2:x2+y2-6x-4y+a=0がある。 ただし, a
は定数とする。 また, 点 A における円 C の接線をℓとする。
(1)円Cの方程式を求めよ。 また, αの値を求めよ。
(2)接線lの方程式を求めよ。 また, 円 C2 の中心と直線lの距離
を求めよ。
(3) 直線lと円 C の交点のうち, Aでない方をBとする。 このとき,
線分 AB の長さを求めよ。 また,円 C 上に点P をとり,△ABP を
つくる。 △ABP の面積が4であるとき,点Pの座標を求めよ。
(配点 20 )

ページ10:

お絵かきしてみた©Akagi
C
C₁
0
D
M
P
P
A
C2
B
0
l
3

ページ11:

自学@Akagi
¿
2021年度
(1)
C₁ = x² + y² = p²
2
・①
とおく。 ①は点 A(1, -2)を通るから
1² + (-2)² = r²
2
r² = 5
2
よって C₁ = x² + y² = 5
C2x² + y²-6x-4y+a=0
②も点Aを通るから
1²+(-2)²-6x1-4x (-2)+a=0
.. a = 7

ページ12:

(2) C, :x2 + y2 =5の接線の方程式は x,x+y,y=5……③
接線公式
接点が点 A(1, -2)だから
1.x+(-2)y=5
よって
l : x-2y=5
また、
C2:x2 + y2-6x-4y-7=0
を平方完成すると
(x-3)2 +(y-2)^= 20
→C2は中心は (32) 半径は2√5の円。
→ 中心 (3,2)と直線l: x-2y-5=0の距離は
|3×1-2×2-5|
√12+(-2) 2
||
65
150

ページ13:

(3) 前半
AB = 2AD だから AD を求める。
直角三角形 ACD で三平方の定理により
AD = VCA2-CD2
=√(2√5)² - (6√5
C2
お絵かきしてみた©Akagi
C
0
5
8√5
(2)で求めた値
5
16√5
P
M
A
よって AB = 2AD-
=
5
P
m
B
l

ページ14:

(3)後半
△ABP の高さをんとすると、 △ABP4 より
16√5
-xh+2=4
5
√√5
... h
=
2
-1)
2
OA の中点をM とすると、A(1, -2)より M(
よって、直線 m の方程式は
y-(-1)==(x-
2
定点公式
1
..m:y
=
2
5
5-4
円 C : x2 + y2 = 5と直線m:y=-x- ーを連立させると
x2+ x
5 2
-)² = 5
4'
2 4
...4x2-4x-11=0
1±2√√3
..x=
2
-2±√√3
これをmの式に代入して
2
1±2√3
したがって、点Pの座標は (
(1±2.5-2+v)
-)複合同順
2
2