ページ1:

2023年1月進研高1模試
三角比♡
4
四面体 OABC がある。
1
OA = 1, OB = 3, cos ∠AOB
==
であり,∠AOC = ∠BOC = 90°である。
A
(1) 辺 AB の長さを求めよ。
・B
(2)△OAB の面積を求めよ。 また, ∠OAC = ∠OCB であるとき,
辺 OC の長さを求めよ。
(3)(2)のとき,辺 AB 上を点 P が動くものとする。 tan/OCP の最
小値を求めよ。
(配点 20)

ページ2:

三角比 プチ解説
(1) △OAB で余弦定理により
AB2 =12+32-2×1×3×(-
3-2×13×(-1/2)
=12
AB > 0 より AB =2√3

ページ3:

(2)△OAB の面積をSとすると, 面積の公式により
S
=1/2x
- x1x3xsin∠AOB
ここで, 三角比の相互関係により
sin∠AOB = √1-cos? ∠AOB
sin 20 + cos20=1
2√2
=
3
32√2
よって
=-x
√2
3
タンジェント
また,∠OAC = ∠OCB = αとすると
の定義
OC
OC
直角三角形 OAC で tan α =
= : OC
OA
OB
3
直角三角形 OCB で tan α =
=
OC
OC
3
これらは等しいので
OC =
∴. OC2=3
OC
OC > 0 より
OC = √3

ページ4:

(3) 直角三角形 PCO で tan ∠OCP =
よって,tan/OCP が最小
△OAB = √2
OP OP
=
OC √3
OP が最小
△OAB で O から ABにおろした
垂線とAB との交点がP
△OAB=AB×OP÷2=2√3×OP÷2=√3OP
√√6
(2)より,
また,
よって
OP:
=
=
√3
したがって tan ∠OCP:
=
3
√6
3
=
√2