ページ1:

3-5
(1)ではM=2より0.1が1枚ずつなので、
ぐ
ぐ
(2)では、M=3より、0,1,2が1枚ずつなので、
・東大の確率
①ネチネチ型[3-4] (2).
となる。
②論理型(食事象、べん図)(3-3)[3-4]
③ 漸化式 [3-5]
Ph-12=(P1-12)(11)=1/21/13
P-1/2(1+1/31)
とくに、P2=0.
(3)(ⅰ)Mが偶数のとき
偶数と奇数が同数枚あることより、
8=1/12 だから、(1)と同じで
Ph=/(m31)
(1)Mが奇数のとき
偶数の方が奇数より1枚だけ多いことより、
偶数は上枚で
x+y=M
a-y=1.
g=
となるから、①
Port Ph+
M-1
M+7
(2)は対称でないのでムリ。漸化式を作ればよい。
M
2M
P₁ = 2M
第一式より、
Pm11
(1)の方は対称性からPm=1/2としてもよいが、
九回目までに取り出したカードにかかれている
数の和をSmとすると、
Shtが偶数となるのは、
Snが偶数でn+1回目に偶数をとり出す。
Shが奇数で
〃
奇数
"
いずれかの場合である。
よって、1回の試行で偶数をとり出す確率を
gとすると、
=/1/17(1/12)
よって{P-1は公比市の等比数列だから
Pb-1/2 =(P1-1/2) (1)m
=(
h-1
3. Ph = = = (1+1) (n≥1)
Phii=Png(-mx79 <注>①より、
P11-1/2=(28-1)(P-12),Piq.
Ph
Pr+1
1-8
.. Ph+1 = (28-1) Pn +1-9-0
き
き
1-pn &
1-P
であり、
(h21)
そして、これを解くと、
Pa=g...②.
(1)このとき、8=1/2だから、①.②より、
P=1/2(n21)、P1=1/
これをまとめて
Ph=1/2(nz1)
(2)このとき、8=3だから、①、②より、
Pat=3Pn+1/3 (721),P1=1/2
第一式より、
Per -
(P-2)
よって、{Pm-1/2}は公比 1/18 初項1
の
Ph={1+8-0)"}
とし、ここに手を代入して(1)(2)(3)に
答える方がはやい。
引く
違うのは確率だけだと気付く!
⇒漸化式をまとめて作れるはず。
等比数列だから

ページ2:

4 問
Pm(1)は、第代で1個となるのは、
n回個の新しい個体を次の世代に残した場合
(以後Aとする)のみ
よって、Pm(1)=P7.
Pm(2)は、第の世代までで1回だけ2個の
新しい個体を次の世代に残して
(以後Bとする)、残りの世代は全てAした
場合である。
Bした後、2個体がどちらもAする確率はpo
だから、
Ph(2)-(1-P)P(n=1+P(1-P)が
= (1-p)
4...+ (17-P)
(p²+p+ p²+
A
bk-1
"(1-P) pp
-1
+
>(n-2)
= (-P) P² · P(18)
P=0を別で検討する。
(2P(2)を利用する
X
P=0のとき
PR-1(1)·(1-P) 2C1 Ph-+(2) · Ph+(1).
P1のとき
P(3) = 2p ((-1){p_p²-4) (2)-57
=
2p-2 (1-1){pp² (n-3]
-2 (1-P(-)
= 2p-2 (1-1) - p²-1) (1-x^(-))
1-P
=2pm-2) (tp)p(1-p)-P(1-pan)
2pn
T+P
1+P
=++ {(1+P) (1-p-1) - P(1-pan-)}
2pm
=7/11 (1-pm-1pm + pan-1)
21-1 (1-1) (1-p-1)
ltP
1(h=1)
6(432)
Ph(3) = 0 (131)

ページ3:

2005
[ex3] N=10とする
[例]] =10とする。
まず具体例を考える。
中の1回目が8であるとする。
(甲は2回目でヤバそう)
これでやめる。
甲の1回目が2であるとする(a=2)
甲はもう1回IC
甲の2回目bb1,2,…,8ならてが引
b=9,10
では合計点が9,なら勝
ならての勝
[例]の結果を用いると、
1回目
2回目
甲の1回目が
ae
8.9
店
7.8
(2)
bath
甲の勝つ確率
6.7
1
3
・2
2
4
9
1回目で勝ち
10°
42
To 102
1 102
その勝つ確率(ホメ×8+1×2
8
10
To 102
=
16720
36
11
100
甲の勝つ確=1
189
10
12
100 = 100 H
中の勝つ確率=1/10 (3+4+…+10°)
[ex2] N=10とする
甲の1目がaとして、2回目を引かないとする。
では合計点がat1,a+2.10なら勝
1回目 2回目
確率
1
a.a+19+ 5 x 10-0
2
a-1,a,... 8 "
a
1.2.10-Q!!
a+1
1回目で勝
10
その勝つ確率=(109
xa+tor (10-a)
100-0°+10:100
102
1029°
To
甲の勝つ確率=
102
a²
・11(110.11.21 16:23.5)

ページ4:

解答④
(1)ては合計点がana+2,Nなら勝ち
1回目 2回目
1
2
a
a. a +1,..., IV-1 85
a-1.aN-2 tsp
1.2... Na
af1 1回目で勝ち
N
この勝つ確率(赤・
確
N-a
N
"
"
"
N-a)ya+(N-a)
Na-a² ≤ N ² NG = 1-1²
a²
IV²
甲の勝つ確率は
N
(2)申の2回目bが..
b=1,2,N-aならてが引く
b=N-a+1,N-a+2,Nなら、その勝ち、
(1)の結果を利用すると
甲の1回目の
2
で2回目なし
で甲の勝つ確率=
b
a+b
甲の勝つ
1
a+7
(0+1)
N
TV'
1
2
a+2
(a-2)2
(x
N
N-a
Na+1 N-11
N
N³
N°
0
N
N+a
よって甲の勝つ確率)
1
^ {(a+1) ² + (α+2)² + ... + N² }
{N(N+1)(211) takatt)(a+1)}

ページ5:

3-4
回目に表が出ると、
OP=OPK+(1,0)となるから、PaPaはり
しだけ右側の点となり、
K回目に裏が出ると、
OP=OP=i+(0,1)となるから、扉はDのより
1だけ上側の点となる。
このこととPo=0であることに注意する。
(1) PoE{(x,y)1x=了となる。つまりPoy=x上に
あるのはP6が(33)となるときであり、
このとき1~6回目は表が3回、裏が3回
出るから、求める確率は、
=200
5
64
16
(2) コツコツ調べるしかない。
{P1, P2.Ps, Pa,Ps. Po}cf(ai) |}となる。
つまり、Pi, P2... Poがすべておつかいにあるの
1
y=x
x
0
1 2
3
4
56
P1からP6への経路が上に示した道のいずれかと
なるものである。
Po(0.6)
1通り
Po(1.5)... (12)から(5)までのけろ。
4C1=4トーリ
P6(2.4)……((2)から(24)までのけろ
4C2-1=5トーリ
であるから、求める確率は、
14+5 10 =
64
32
((3) 集合{Pa,P2.Po}{(ス)}、つまり、
Pi,P2,…, Poのうち y=xにあるものの集合①
が空集合となるのは、Pi,P2,…が全でし
yフにある…②か、またはPo,P2,…,Poが
すべてyxにある…③ときである。
②の確率は(2)より1/3であり
対称性より③の確率もこれに等しい。
よって、①が空集合とならない確率は、
(4)(3)がヒント:要素が個である確率を
とすると、2=1である。
P1P2... Poのうちy=上にありうるのは、
P2, P4, Poだから、①の要素の個数は
0.1.2.3 のいずれか。
①の要素の個数が1,2,3である確率を
q192.93, とすると、(3)より、
8182+83=1.4.
要素が3個となるのは、P2(1,1)からPa12.2)かつP(33)
のときであるから、
また、要素が2個となるのは、
(Pa(2,2)かつP6(3.3)だが要素が3コでない
<P2(1.1)かつP6 (33)
(P2(1.1)かつPa(2,2)
のいずれか
〃
82 = (462 1-83) + (2018) (1)
822
1/16 + 1/1614-2 = 4.
よって④より、
8%)
となるから、求める期待値は、
1.8 ++ 2.82 +385-1-7612x+35-f