ページ1:

<数列の極限>
nにを代入するイメージ
1 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。
(1)-4n+9
(2) 2n(1-n) (3) 2394
(4) 2-(-1)"
(1)
-4n+9
2"
-に9を加えても一緒に影響すること
はない。
よって負の無限大に発散する
-∞
(2) 2n(1-n) 後者が一であるから
のであるから、めを掛けても
全体はーとなる。
-∞
よって負の無限大に発散する。
(3)
分母はnのとき2
3
0
h
2'
全体として分母が限りなく大きくなるので
0に収束する
(4)
〃
☑
〃
のとき、それぞれ
2-(-1) h (-1)h 12 n = 1.2.3." 983. Enε"n
振動
振動
-1.1.-...となる。つまり、一定の値に
収束することはないので振動する。また、2から
この値を引いても振動することに変わりはない。
よって、振動する
"1

ページ2:

2 次の極限を求めよ。
(1) lim
5n-3
- 2n+1
(3) lim n
(1)
lim
218
1
n+1
5n-3
hx 2n+1
n
=
(2)
lim
3n-7
=
n+p
n²+1
(3)
lims
5-3
2+
n
5-0
2+0
3 7
lim n
411 1 +
0-0
1+0
3n-7
(2) lim
n2+1
(4) lim (3n2-2n³)
=
818
5-0_
2+0
=
5
2
"
0-0
=
= 0
"
lim n² (n+1 +) = lim n².
10(0-0)
=
→n
lim
1-0
通分
n-(n+1)
n(n+1)
x+4
+
六
1+0
んでくくる
=
= lim
n+p
h+1
21
- 1
1+0
"
×
(4)
lim (3nt-2n) = lim n² (3-2).
h+x
X
n-x
∞ (3-0)
-☑
"

ページ3:

有理化 (2) limacosm
2600716
2 3
-
n-3
=
lim
n+3
n-3
3 次の極限を求めよ。
(1) lim(√√+3-√√√n-3)
818
(1) lim (√n+3
=
h+p
= lim
X-X
(n+3)-(n-3)
n+ 3 + √ n-3
√n +3
8+8
=
h+∞
lim
6
'n+ 3 + √ n-3
8
h+ 3 + n-3
-) (√n+3
√n+3 + √ 1-3
10.00
80+00
X
=
0
"
(2)
lim
ここで
n+x
-
h²
Cos
- 1 ≤ cos
hπ
3
= n = 1
nπ
3
三角比を含むときは特殊なパターンはさみうちの原理
であるから、
-1 cos = 1
h²
ziz " him - + = 0
MP
1
3
nt
lim I
= 0
であるから、
mx ht
lim I Los TL = 0
3
"

ページ4:

(2) lim log2x
x→1
12) lim logz & loq=1
x+1
0
"
関数の極限
次の極限値を求めよ。
x−−2 (x+1)(x² −3)
x+3
(1) lim
·(1) lim
2+3
x+-2(x+1)(x-3)
(-1))
(3) lim
13+8
1-2 1+2
(3)lin +8
〃
(-1).1
14)
lim
2³+2+2
267-1
2772
++-2
++2
lim (t+2)(ピー2t+4)
=
++-2
=
12 11
(5) lim d
010
tt2
約分
b
2
xx+3.
(4) lim
lim
X+-1
= lik
X7-1
x+x+2
x-1 x2+x
6
(5) lim (+32)
lim
X-1-1
x0x
x3+ズーズーズ+2x+2
x²+x
約分
x²(x+1)-x(x+1)+2(x+1)
x(x+1)
2
xx+2
x
) = lim + -2x
ato
xx+3
約分
=
-4"
2
lim (-7-7-3)
0+0
x+3
=
2

ページ5:

2 次の極限を求めよ。
(1) lim
X8
2x+1
x²+3x+1
(1) lim
121
2x+
x+x x²+3x+ |
0
3x²-5x-2
lim
8118
x²-3x+2
+
1
-3(x-3)²
0+0
+0+0
=
lims
2
3
+
x
x
lim
3
15/2/1/2
3
x
1 lim 3x-57-2
X-1
x-3x+2
00
X
047-00
1
1
+
(3) lim
273
(x-3)2
グラフをかくと
=U ☑
→8
0
3
3
x
a+3のとき
LP
(x-3)2
"
0
"1
=3
x2
3-0-0
1-0+0
11

ページ6:

3 次の極限を求めよ。
(1) lim 1-1
川
x→1-0x-1
(2) lim
X-10
(2)
x+1-0
2-1
!!! lim
2x
1-0
-80
↓
0
X+1-0
2-1
9-7
のとき
x
lim
01-0
lim
01-0
- 2
2x
7x1
"
.2X
-x
・2(0)
0
約分

ページ7:

4 次の極限を求めよ。
(1) lim 3*
X-8
(1) lim 32
0+-1
-00
(2) lim log*
(2) lim log |
logta
(3)
=
x+1
log &
∞
x→∞
0
==
lim (57-37)
X+∞
〃
5 {1(部}
lim 5x
X-100
00(1-0)
0
(3) lim (5*-3*)
818
y=3x
x
lim (-log 5 x )
X-10
-logs ∞
底が大きい
)ものでくくる
5>3
0
スナーのとき
32+0
α-
y=-log5x
a+のとき-logo-00
=
"

ページ8:

5 次の極限を求めよ。
(1) lim
√x+1-2
x3 x-3
(1)
lim
x+1 2
=
(2)
〃
=
Q+3
lim
X-3
x-3
約分
x+3(x-3)(x+1+2)
lim
210
lim
040
lim
7610
vitz -vi-x
Vi+2
x
(Vita
xv
2x
(2) lim
√1+x-√1-x
x0
x
lim (Vx+1-2)(1+1+2)
(x-3)(Viti+2)
2-3
4
√1-x) (√1+x + √1-x)
x ( √ 1 + x + √1-x)
x(√1+x.
約分
x+11-x
0x

ページ9:

6 次の極限を求めよ。
(1) lim(√x+2-√)
→8
(2) lim (√x2-3x+1+x )
8118
(1)lim (Va+2-V) 00-0
X-10
lim
X1+0
こ
=lim
(2)
(1+2-1)(x+2+1)
2
x+2+1
√ x + 2 + √x
0
lim (√x²-3x+1 +2) ∞∞
27-0
=lim
2-170
x)
(Vズー3x+1+x) (Vズ-3x+1-x
√√x=3x+1
-
-3.x+1
X
・li
α-1-00
=lim
X+-∞
x-3x+1
x
-3+/
3
x
+
1
3
2
?!
"
-3+0
-11-0+0-1

ページ10:

8 次の極限を調べよ。
(1) lim
1
tanx
\\) lim
(2) lim
sin 4x
x
1-0
対
tanz DD
(2) lim
sin 4x
2
0610
x
=
0
"
lim 4 (sintx)
070
4ヶ
4.1
lim sind
0+0
9
= 1
01-0
↓
x
04-
=
4
"
(3) lim
(3)
sin 2x
x-0 sin 5x
lim sin 2x
sin 5x
2542x
22
06-10
= lim
041+0
5.sin5x
5x
2.
50
(5) lim
110
2
"
1-cos2x
151 lim
=
1
040
lim
2410
lim 2
2-10
cos 2x
x²
2 sin²x
x2
sinx
x
2
x
2.
=
(4) lim
sin²x
:–0 1– cost
14) lim
7-10
lim
740
-
síň'x
1-1 ×
sinx (1+005x)
(1-cos x) \ \ + cos x)
cos
lim sin x ( 1 + 00= x)
040
sin x
( 1 + cos x)
lin 2
010
2
"
1+1
=
"

ページ11:

HOMETOWN.
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ページ12:

次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。
avx+1-6
lim
=√2
→1 x-1
分母が
○に収束
であるから
・分子も
01-42 lim (x-1)=0
2-11
0に収束 blava+b)=0
X+1
Via-b=0
より
:: - √2 a
al
2-1
• lim
allx+1-12a.
α1
x-1
lim alati-
こ
=
lim
X+1
lim
04+1
a
21
a(Vi+1-12)(1+1+1/2)
(x-1)(V2+)+V2)
a (x-1)
(x-1)(x+1+12)
=
より
12+12
a=4
12
またb=12:4
412
"
"
a
2√2