Question

nayo

ひし形ABCDのACベクトル×BDベクトル＝0を内積を使って解く方法を教えてください。

ベクトル

Answer 1

LUX SIT

菱形の定義は4辺の長さが等しい四角形でした[これが前提ということに注意しましょう].
これから対角線が垂直に交わることを示せ, という問題です.
***
四角形ABCDは菱形なので
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|
始点をAに揃えると　[基準をとることが大事です]
|AB|=|AD|=|AC-AB|=|AD-AC| [ベクトル表示です]
後ろの等式を2乗すると
|AB|^2+|AC|^2-2AB・AC=|AC|^2+|AD|^2-2AC・AD
⇔AB・AC=AC・AD
⇔AC・(AD-AB)=0
⇔AC・BD=0
となって示せました.
***
×はクロスプロダクトというドットプロダクトとは別物なので気を付けてください.

Answer 2

サスケ

文意が正確に汲めませんので利用できそうな性質を教えておきます。ひし形の2つの対角線は垂直に交わります。

nayo

ひし形の２つの対角線が垂直であることを証明したいのですが、その時にACベクトル×BDベクトル＝0であることを示したいです。
言葉足らずですみません。

サスケ

なるほどわかりました。
この証明は初めてだったので細かい言葉遣いが適切じゃないかもしれませんがご容赦ください。

ひし形の各辺の長さが全て等しいことがわかればすんなりいくと思います。

nayo

ありがとうございます！！