結局7通りのパターンがあることは地道に数えるしかありません。高々7通りを見つける作業なのでそれは我慢して，あとは色の割り当て方法で4!=24倍するのが，この問題を解くコストとしては最小だと思います。
7通りの数え方としてもう少し違った方法もあります。
4つの色をア，イ，ウ，エとして，
(i) BとEに同じ色を塗る場合
B=E=ア，C=イ，D=ウとすると，A=(ウ or エ)，F=(イ or エ)となる。よって，2×2=4通りになるが，そのうちの1つはア，イ，ウの3色しか使っていないので除外して，4-1=3通り。
(ii) BとEに異なる色を塗る場合
B=ア，E=イ，C=ウ，D=エとすると，A=(イ or エ)，F=(ア or ウ)となる。よって，2×2=4通り。これらはどれも4色を使うという条件に合っている。
(i),(ii)より，3+4=7通り。
あとは，ア，イ，ウ，エへの赤，青，黄，白の割り当て方法が4!=24通りあるので，7×24=168通り・・・(答)
そのやり方でやってみようと思います。わざわざありがとうございます😊