何か凄い勘違いしていると思いますよ.
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y=xlog(x)[x>0でのみ定義されていることに注意しよう.]のx=t(>0)における接線の方程式は
y=(log(t)+1)(x-t)+tlogt
と表せる. この直線がy=ax^2と接するのでxについての2次方程式
ax^2=(log(t)+1)(x-t)+tlogt⇔ax^2-(log(t)+1)x+t=0
が重解を持つことが必要で,
判別式D=(log(t)+1)^2-4at=0⇔a=(log(t)+1)^2/4t
がaの満たすべき条件である.
***
ここで接線の本数があるa[固定したaという意味]におけるtの個数と同値であることに注意する.
そこでtの関数f(t)=(log(t)+1)^2/4t[t>0]の挙動を調べ, f(t)=aとの交点の数を調べることにする[解の分離問題に帰着する].
f'(t)={2(log(t)+1)(1/t)(4t)-(log(t)+1)^2*4}/(4t)^2
=(1+log(t))(1-log(t))/(4t^2)
増減は0<a<1/eでf'(t)<0なので単調減少, 1/e<a<eでf'(t)>0なので単調増加, a>eでf'(t)<0なので単調減少
以上より極小値f(1/e)=((-1)+1)^2/{4(1/e)}=0, 極大値f(e)=(1+1)^2/{4(e)}=1/eをとることがわかる.
また
lim[t->0]log(t)+1->-∞, lim[t->0]1/t->+∞からlim[t->0] (log(t)+1)^2/(4t)->∞
lim[t->∞](log(t))^2/t=0からlim[t->∞](log(t)+1)^2/(4t)->0
が言える[グラフは自分で書いてみよう.].
***
以上より
0<a<1/eの範囲で接線の本数は3本, a=1/eで接線の本数は2本, a>1/eの範囲で接線は1本
有することが分かった.
***
典型的な定石問題ですが, 接線の本数から解の分離へ至るまでの考え方をしっかり理解しましょう.
Mathematics
มัธยมปลาย
この問題でa＝1/eまでは分かったのですが、接戦の本数は分かりません。教えてください
0一))
G を正の定数とする. 2つの曲線 G :y=>logz と 6:y=9P
の本数を求めょ。ただし, jm og
ao
2 の両方に接する直線
=0 を用いてよい.
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