とりあえず(1)より上の条件だけ読めば、znという漸化式をまずは解いて数列Znの一般項を求めたいという思考になるはず。
Z(n+1)=iZ(n)+2
α=iα+2→(1-i)α=2 当然1≠iなので、α=2/(1-i)
Z(n+1)-α=i(Z(n)-α)
⇄Z(n)-α=i(Z(n)-α)
⇄Z(n)-α=i^(n-1)(Z1-α)
→Z(n)=i^(n-1)((-i-1)/(1-i))+2/(1-i)
(1) ここでn=2019とすると、
Z(2019)=i^(2018)((-i-1)/(1-i))+ 2/(1-i)
ここでiの周期を考えると、
iの1乗はi
2乗は-1
3乗は-i
4乗は1
5乗はi
6乗は-1
なので4周期で1になる。つまりは、mod.4を法としたとき、1となるので、
4の倍数である2012乗は、4*503とかけるので≡1
2018は2012から6周期すすめたものだから、i^2018=-1より、
Z(2019)=i^(2018)((-i-1)/(1-i))+ 2/(1-i)=(1+i)/(1-i)+2/(1-i)=(3+i)/(1-i)
(2) point:複素数で円の中心を求めるのはかなりの計算量を有することが多く、難しい(経験則)。
従って、図形と方程式の考え方を利用する。
さて、虚数部をy座標、実数部をx座標として、円の中心座標を(p,q)とする。
z1=(1,0)
z2=i+ 2=(2,1)
z3=2i+1=(1,2)
が簡単にわかるので、
円の方程式は、
(x-p) ^2+(y-q)^2=r^2
(r=√(x-p)^2+(y-q)^2)
なので、
(1-p)^2+(0-q)^2=(2-p)^2+(1-q)^2
⇄1-2p+ p^2+q^2= 4-4p+p^2+1-2q+q^2
⇄1-2p=4-4p+1-2q
⇄2p+2q=4
⇄p+q=2 (z1とz2の関係式)…➀
(1-p)^2+(0-q)^2= (1-p)^2+(2-q)^2
⇄0-2q=4-4q
⇄2q=4→q=2 (z1とz3の関係式)
➀に代入して、p=0
よって、円の中心座標(p,q)=(0,2)
また、半径r=√(1-0)^2+(0-2)^2=√5
30点は大きいですね。
うわ
全部間違えました