Question

ゆう

定義通り示そうとすると逆数やら何かで詰まってしまい示すことができません。解法を含めよろしくお願いします。

解析 数学 関数 極限 定義

Answer 1

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gößt

高校生でもう大学数学やってるんですか

こういう問題は結果から天下り的に考えていくといいです
|1/x-2|
を式変形していくと
＝|1-2x|/|x|
＝2|x-¹/₂|/|x|
＜2δ/|x|
なので、あとは
|x|＞M
となる M>0 が取れれば
2δ/|x|＞2δ/M
となり δ=(M/2)ε とおけば証明できそうです

さてMの取り方ですが、今は x→¹/₂ なのでxが¹/₂に十分近ければ
|x|＞¹/₄
とできそうですね。具体的には幅δを¹/₄より小さく取ればよさそうです

以上のことを踏まえて証明を書いていきます
(証)
任意のε>0に対して
δ＝min{ε/8, ¹/₄}
とおく。このとき、
0＜|x-¹/₂|＜δ
ならば
|x-¹/₂|＜¹/₄
-¹/₄＜x-¹/₂＜¹/₄
¹/₄＜x＜³/₄
∴|x|＞¹/₄
であるから、
|1/x-2|＝|1-2x|/|x|
＝2|x-¹/₂|/|x|
＜2δ/(¹/₄)
＝8δ
≦ε
従って
lim[x→¹/₂](1/x)＝2 ◻︎

ゆう

詳細に教えていただきありがとうございます！