Mathematics
มหาวิทยาลัย
数学の整数の問題です
アイウまではわかるのですがそこからがわかりません。
どなたか説明していただきたいです🙇
[29] 【数学A 整数の性質】 ( 10分(
点 / 20点)
2020 は 2020=101 x 20 と表せる。
(1) 20の倍数の判定する方法について考えよう。
すべての自然数 N は, 自然数a, bを用いて, N = 100g+b (a≧0,00せる。
100g+b= 20.5g+b
であるから, 20 の倍数の判定する方法は「下の
ア
当
ただし, ア
桁がイウ の倍数である」ことである。
イウにはできるだけ小さい数を答えなさい。
€
2 10-
(2) 101 の倍数を判定する方法について考えよう。
④20m
まず, 8桁の自然数について考えて、1の位から2桁ずつ区切り位が小さい方から 1, 2, 3, 4 とする。
例えば,N=20200119 のとき, 119,02=1,03=20,0420 である。
8桁の自然数Ⅳは,
N = 1 + 102.62 + 101.03 + 10-a」 {1, 2, 03 は0以上 99 以下の整数, G4は10以上99以下の整数)
ポステ
また と表せる。
102101で割った余りはエオカ
104101 で割った余りは キ
106 101 で割った余りは
クケコ
であるから, 8桁の数が101 の倍数であるためには
101 の倍数になればよい。
同様に, すべての自然数 N で 101 の倍数を判定する方法が導くことができる。
サ
に当てはまるものを,次の①~⑦のうちから一つ選べ。
01+a2+ as +Q4
① [1+a2+a3-
a +02-a3+04
01 02 +03 + ag
(11-02 - a3+04
1 +02-03-04
(5)
01-02 + 03-4
01-02-0344
(3) 百の位がα, 十の位がり,一の位がcである10桁の整数
がある。
2228831abe
この整数が2020 の倍数であるとき, α=
シ
b=
ス
C=
である。
〔29〕 解答・解説
【解答: ア…2(2点),イウ… 20 (2点), エオカ… 100 (1点), キ.1 (1点), クケコ... 100 (1点) サ.. 5 (4点), シ･･･6(3点), ス…4(3点),セ…
0(3点)】
解説
(1)20の倍数の判定について, すべての自然数 N は, 自然数 a, b を用いて, N = 100a+b) と表せる。
100a+b= 20.5a + b
より, Nが20の倍数になるためには, bが20の倍数になればよい。
すなわち, 下2桁が, 20 の倍数になればよい。
...
(アイウ)
(別解) 20 = 4 × 5より4の倍数かつ5の倍数となればよい。4の倍数であるためには下2桁が4の倍数･･････ ①, 5の倍数であるた
めには,1の位が0か5...... ②
①,②より,下2桁が 00, 20, 40, 60, 80 となればよいので,下2桁が20の倍数になればよい。
(2)102 101.0 + 100 より, 102 101で割った余りは100･･･(エオカ)
104 = 101.99.+1 より 104 を 101 で割った余りは1・・・(キ)
10° = 101.9900 +100 より, 106 101で割った余りは100... (クケコ)
よって,
102.a2 = 101.0 +100a2 =101a2a2
104.a3 = 101.99a3 + a3
106a4 = 101.9900a4 +100a4=101・9901a4a4
であるから,
N = a + 102.a2 + 104a3 + 106a4
=101(a2 +99a3+9901a4)+a1 - a2 + 03 - 04
よって, N が 101 の倍数であるためには,a - a2+α3-a4 が 101 の倍数になればよい。 ⑤･･･(サ)
同様に考え、1の位から2桁ずつ区切り, 位の小さい方から a1,a2, a3,...
とすると,
arianta-a4+05-06+... が 101 の倍数となれば N は 101 の倍数となる。
(3) 2020 の倍数になるためには,20の倍数かつ101 の倍数となればよい。
20 の倍数となることから, 106 +cが20の倍数である。 よって, c=0･･･ (セ) であり, 60,2,4,6,8 のいずれかである。
101 の倍数となることから,
(106 + c) - (10+a) + 83-28+22が101 の倍数 67 - a +100 + c が 101 の倍数
c=0であるから, 67 - a + 106 101 の倍数である。 0≦a≦9,6=0, 2, 4, 6, 8 であるから,これを満たす a, bはa=6,b=4...
(シス)である。
記録は整
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