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海水温が下がる→海面から蒸発する水蒸気量が減少する→上昇気流に乗って上空へ向かう水蒸気量も減少する→水蒸気が上空で水滴となる(雲となる)量も減る
という流れです。
台風とは巨大な雲の塊なので、水蒸気(+上昇気流)がなければ成長して雨を降らせ続けることはできません。
また、一般に高緯度に向かう(=赤道から離れ、北極or南極に近づく)と気温は下がります。これは地球の自転の角度と太陽との位置関係イより、太陽から受け取るエネルギーの量が高緯度だと減少するからです。