Question

波瑠

数3微分の問題です。(1)、(2)ともにわからなくて、(1)は青いラインのところ，(2)は平均値の定理を用いずに赤で囲った操作をする理由がわからないので教えてください。よろしくお願いします。

✓ 165 次の関数について, f'(x)=0を満たすx は存在するか。
(1) f(x)=xcosx
π
0≦x≦
(2) f(x)=1-x-2 (1≦x≦3)
2人

165 (1) f(x) =xcosx は閉区間0.7で連続,
開区間 0,
(0,
π
で微分可能であるから,平均値
の定理により
()
-f(0)
-= f'(x), 0<x</
π - 0
を満たすx が存在する。ここで
(1)-(0)=0-00
であるから、0<x<2でf'(x) =0 を満たすx
が存在する。
[別解
■指針
f'(x) において,中間値の定理を利用する。
π
f'(x) =cosx-xsinxは0≦x≦で連続で
fl
π
==
f'(0) =1>0, f'()=-<0
よって,中間値の定理により、0<x<2で
f'(x) =0を満たすxが少なくとも1つ存在する。
(2) 1≦x<2のとき
f(x)=1+(x-2)=x-1から f'(x) =1
2<x≦3のとき
f(x)=1-(x-2)=-x+3からf'(x)=-1
f(2+h)-f(2)
また
(1-h)-1
lim
= : lim
=-
ん→+0
h
ん→+0
h
(1+h)-1
= lim
:1
0-14
0-14
h
lim
f(2+h)-f(2)
h
したがって, f' (2) は存在しない。
よって、入るでf'(x)=0を満たすx
は存在しない

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

(1)はf'(x)=0となるxがすぐ出せないから
平均値の定理は有用です

f'(x)=0を解くのが簡単とか、
グラフがすぐわかるとか、そういうのであれば、
平均値の定理を使うまでもありません
ふつうに考えればいいです

(2)は微分可能でない点があるので、
1〜3の範囲で平均値の定理が使えません

波瑠

2問とも解説ありがとうございます。(2)完全理解できました。(1)について追加質問失礼します。「ここでー」の前までで写真に書いてある通り問題で問われていることに答えられていますが、「ここでー」以降の記述(青ライン)は必要ですか？よろしくお願いします。

和

もちろんいります

「ここで」の前だけでは、
f'(x)が「0」であることを明示しておらず、
だから何？　と思ってしまいます

「ここで」以降で、この平均変化率が
0であることを述べています

波瑠

完全に理解できました。追加質問の対応もありがとうございます。