先代入 n = 1 求首項：
a₁ = 3²(1+1) = 18
現在考慮 k ≥ 2 (所以 k-1 是正整數)
代入 n = k：
a₁ + 2a₂ + 3a₃ + ⋯ + (k-1)aₖ₋₁ + kaₖ = 3ᵏ⁺¹(k²+k)
= 3 · 3ᵏ(k²+k)
代入 n = k-1
a₁ + 2a₂ + 3a₃ + ⋯ + (k-1)aₖ₋₁ = 3ᵏ[(k-1)² + (k-1)]
= 3ᵏ(k²-k)
上式減下式
kaₖ = 3ᵏ[3(k²+k) - (k²-k)]
= 3ᵏ(2k²+4k)
aₖ = 3ᵏ(2k+4)
所以說，對於 n ≥ 2
aₙ = 3ⁿ(2n+4)
但對於 n = 1
a₁ = 18 = 3¹(2·1+4)
恰好也成立
所以就不用分開寫了
得到通式
aₙ = 3ⁿ(2n+4)
其實這題目就是
給級數，求原數列
只是中間經過一個 bₙ = naₙ 的代換
b₁ + b₂ + b₃ + ⋯ + bₙ = 3ⁿ⁺¹(n²+n)