Question

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□4の求め方がわからないので解説してほしいです。お願いします！

A
4
右の図のように, AB-3cm, BC4cm,
AC5cmである直角三角形ABC がある。
半径r (cm) の2つの円が互いに外接し,一方
の円は辺 AB AC と もう一方の円は辺
AC, BC と接している。 円0 と辺 AC の接
点をP, 円 0 と辺 ACの接点を Q とする。
2つの円の中心 0, 0′ からそれぞれ辺 BC,
3cm
AB に引いた垂線の交点をHとする。
このとき 次の問いに答えなさい。
B
問1 OHの長さをrの式で表しなさい。
問2 AP の長さを」の式で表しなさい。
問3の値を求めなさい。
H
A
5cm
C
4cm-

Answer 1

みと

参考・概略です

△ＯＨＯ'∽△ＡＢＣにおいて
　ＡＢ：ＯＨ＝ＡＣ：ＯＯ'＝ＢＣ：ＨＯ'を利用し
　{ＡＢ＝3，ＡＣ＝5，ＯＯ'＝2r，ＢＣ＝4}より
　　3：ＯＨ＝5：2r＝4：ＨＯ'　で

　　　3：ＯＨ＝5：2r　から
　　　　5ＯＨ＝6r
　　　 　ＯＨ＝(6/5)r　…　①

　　　5：2r＝4：ＨＯ'　から
　　　 5ＨＯ'＝8r
　　　　ＨＯ'＝(8/5)r　…　②

円Ｏと辺ＡＢの接点をＰ'
円Ｏ'と辺ＢＣの接点をＱ'とすると
　接線の長さが等しいので
　　ＡＰ＝ＡＰ'…③
　　ＣＱ＝ＣＱ'…④

Ｈから辺ＡＢ，ＢＣに下した垂線の足を
　それぞれＨ'，Ｈ"とすると
　　Ｈ'Ｂ＝ＢＨ"＝Ｈ"Ｈ＝ＨＨ'＝r　…　⑤

辺ＡＢについて考えると
　ＡＢ＝ＡＰ'＋Ｐ'Ｈ'＋Ｈ'Ｂ　で、仮定と③①⑤を利用し
　{ＡＢ＝3，ＡＰ'＝ＡＰ，Ｐ'Ｈ'＝ＯＨ＝(6/5)r，Ｈ'Ｂ＝r}より
　　　3＝ＡＰ＋(6/5)r＋r　で
　 ＡＰ＝3－(11/5)r　…　⑥

辺ＣＢについて同様にして考えると
　ＣＢ＝ＣＱ'＋Ｑ'Ｈ"＋Ｈ"Ｂ　で、仮定と④②⑤を利用し
　{ＣＢ＝4，ＣＱ'＝ＣＱ，Ｑ'Ｈ"＝ＨＯ'＝(8/5)r，Ｈ'Ｂ＝r}より
　　　4＝ＣＱ＋(8/5)r＋r　で
　 ＣＱ＝4－(13/5)r　…　⑦

辺ＡＣについて考えると
　ＡＣ＝ＡＰ＋ＰＱ＋ＣＱで、⑥⑦とＰＱ＝ＯＯ'＝2rを利用し
　{ＡＣ＝5，ＡＰ＝3－(11/5)r，ＰＱ＝ＯＯ'＝2r，ＣＱ＝4－(13/5)r}より
　　　 5＝{3－(11/5)r}＋2r＋{4－(13/5)r}　で
　(14/5)r＝2　
　　　 r＝5/7