Question

さつき

数3微分、平均値の定理の単元です。169(1)がわかりません。解説5行目「このとき、①は0＝-sin x sin y となり、」というのがどこに何を代入して出てきた式なのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

発展問題
✓ 169 微分可能な関数 f(x) とすべての実数x, yについて,次の等式が成り立って
いる。
160
「
f(x+y)=f(x)f(y)-sinxsiny, f'(0) = 0
このとき、次のことが成り立つことを示せ。
(1) f(0)=1
(2) f'(x)=-sinx
(3) -1≦f(x+1)-f(x)≦1

169
指針■
関数の等式に関する問題
→0や1など, 特殊な値を代入してみる。
(1) x = 0 を代入して変形すると,
(y){1-f(0)}= 0 となる。
f(0) ≠1 と仮定して矛盾を導く。
(2) f(x)の定義式 lim(x+h)-f(h)
を
0
h
条件で与えられているf'(0) の定義式の形が
でてくるように式変形する。
与えられた関数の等式や (1) の結果を利用す
る。
(3)平均値の定理を利用する。
f(x+y)=f(x)f(y) sin xsiny ① とおく。
-
******
(1) ① に x=0 を代入すると f(y)=f(0)f(y)
f(y){1-f(0)}=0
すなわち
ここで,f(0) ≠1 と仮定すると, すべての実数y
に対してf(y) =0
このとき, ①は0=-sinxsiny となり, すべて
の実数x, y に対しては成り立たない。 よって,
矛盾である。
-x=
20) ITI
したがって
f(0) =1
S
(2)f'(x) = lim
f(x+h)-f(x)
h→0 h
ここで, ①より
よって
f(x+h)=f(x)f(h) - sin xsinh

平均値の定理

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

希

その前の式で、すべての実数yに対してf(y)=0が得られました。要するにfは常に0です。なので、①の左辺のf(x+y)も0となります(x+yも実数なので)。
右辺のf(x)f(y)も0となります。
したがって0 = -sinx sinyが分かります。

さつき

ありがとうございます！