Question

(๑•̀ω•́๑)

為什麼PA+PB會等於A'B？

例題13 最短路徑問題
如右圖,有一農夫從住家4(-8,5)處,牽著一隻牛到河邊 x
軸P處喝水,然後再牽往田裡B(2,1)處工作,則P點坐標
是多少時,農夫所走的路徑PA+PB有最小值。 〔三民高中〕
【解
常見段考題
(-8,5
AR
(x0) →B
(2,1)
P
A 1-81-5
Notes
如果A、B兩點在直線的同
側,則作A對的對稱點A',
PA+PB=PA'+PBZA'B,當等號
成立時,此時的P點在A'B上。

A(-8,5)對x軸的對稱點為 A' (-8,-5)
3
直線A'B:y-1=(x-2)
5
3
⇒y==x
5
1_5 3
P點:
y=- x
5
y=0(x軸)
⇒x= 即P
3
3
5
則PA+PB的最小值為
A'B=[2-(-8)]²+ [1-(-5)]² = 136
=2/34

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

綾

看圖看不太出來是因為P是可動的
圖只是標了其中一個
不是有最小值時候的P

從你畫的圖可以看到A‘BP是可能形成三角形的（也可能是直線）
那麼就一定符合「兩邊和大於第三邊」
也就是Notes裡的“PA‘+PB>=A‘B“
又A‘是A的對稱點
所以PA=PA‘
直線是最短距離
剩下的就是解答了

(๑•̀ω•́๑)

但兩邊之和大於第三邊不是應該只有PA'+PB>A'B嗎？為什麼會有等於

(๑•̀ω•́๑)

還是等於是只三點共線的時候？

(๑•̀ω•́๑)

指

綾

對 等於是我後面括號寫的「也可能是直線」的情況

(๑•̀ω•́๑)

謝謝