Question

りう

（2）
OP•OPが(OP-1/2OA)•(OP-1/2OA)と変形できるのはなぜですか

275
720円のベクトル方程式
【レベル★★
ーる直線lの方程式を媒介変数
例題
【レベル★★★]
平面上の異なる2つの定点 O, A と任意の点P に対して, 次のベクトル方程式が成り立つとき,点P
はどのような図形を表すか。
| |30P-0A| =6
CHECK
(2)|OP|2=OP.OA
よって、
A,Pの位置ベクトルをそれぞれ
中心 CG),半径がの円周上の点をP(j)
+t(3, 4)
4t-5)
一の媒介変数表示は,
とすると,
|CP|=r
すなわち
|bc|=r
が成り立つ。これを
0
......2
円のベクトル方程式
という。
中心B, 半径20円
(2)|OP|=OP-OA を変形すると
OP・OP-OP・OA=0
(OP-120A)-(OP-/ON)-(20A)(2/20)=0
|OP-120A-110A-0
OP OAOA
OPOAIOA
ENS
すべクトル
直線l
POINT
C(c)
0
P(
線分 OA の中点をMとすると,
OM-120A
であり,
【解答】
(1)|30P-OA|=6 を変形すると,
3 OPOA
|=6
OF-OA-2
=2
線分 OAを12に内分する点をBとすると,
OB= 1/30Aであり,
|OP-OB|=2
A.
|BP|=2
P
||OP-OM|=|OM|
|MP|=|OM|
よって,
中心 M, 半径 OMの円
2
は
B
OA
を表す
0
OA
P
|CP=r すなわち |-cl=r
中心C(c), 半径1の円
ベクトル
POINT
P2

Answer 1

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和

平方完成です

りう

なぜ平方完成をするのですか？

和

|OP-OB| = ☆
すなわち|BP| =☆のような形になれば、
「Pは定点Bからの距離が☆となる点の集まり」
のように解釈ができるからです

そのためには、Pが式の1か所にだけ現れるように、
Pを集める変形が有効な手の一つです

変数を1か所に集める変形といえば、
平方完成です
あれもxが散らばっているのを(x…)²+…
の形に、xを1か所に集めるためのものです

その他、OP・(OP-OA)=0
OP・AP=0
と変形して「Pは直径OAの円周」
と解釈するなどできます

りう

OP•(OP-AP)=0をOP•AP=0と変形することでPへ直径OAの円周と解釈できるのはなぜですか？

和

OP・AP=0ということは
→OP=→0か、→AP=→0か、∠OPA=90°です

→OP=→0なら、PはOに一致します
→AP=→0なら、PはAに一致します
∠OPA=90°なら、Pは直径OAの円周を描きます
直径に対する円周角は90°だからです

りう

円周角ですか！ありがとうございます。

Answer 2

フラッグ

式変形をやや丁寧に述べました。
見づらいor分かりにくいところがあれば
質問して下さい🙇‍♀️

りう

2行目の青線を変形したら、3行目の青線と赤線の部分になるということでしょうか？

フラッグ

2行目の青線が、3行目の青線になります。
赤線を二つ書いたのは、同じものを足して引くということを強調したかったのですが、分かりにくいですね。

りう

同じものを足して引くことで相殺している？という状況ですか？
赤線の部分が出てきた理由がわからないです、、🙇

フラッグ

ベクトルの代わりに数での説明になってしまいますが…
a^2-baが出てきたとき、これを平方完成しようと考え、
a^2-2(1/2)ba+(b/2)^2としたいんですが、勝手に
+(b/2)^2してはまずいので「帳尻合わせ」として
-(b/2)^2したのです。私の答案ではベクトルの内積の計算に、この方法を使いました。これが、赤線の部分が出てきた理由です。私の説明不足で恐縮です。

りう

なるほど、平方完成と同じことをしているのですね！
ここではOPをa、OAをbとみなしているということですか！

フラッグ

その通りです✅

りう

理解できました、、😭
質問何度も答えていただきありがとうございました！