Question

かなかな

18なのですが、①解答の青線で引いたところで、分母が0の時は定義されないはずなのになぜ場合わけして示されているのか、
②また緑線のところで、収束するのは-1<公比≦1とわかっているはずなのになぜ他の場合も考えて場合わけするのか。を教えていただきたいです。

そのときの極限値を求めよ。
③ 17
18 ③ pを実数の定数とし、次の式で定められる数列{an} を考える。
a1=2, an+1=pan+2 (n=1, 2, 3, ......)
[囲を求めよ。
数列{a} の一般項を求めよ。 更に, この数列が収束するようなかの値の範
[愛媛大] 18, 19
うに
B
19° 座標平面上の点であって, x座標, y 座標とも整数であるものを格子点と
4
|||| を満たす枚子占

れ数に
第2章 極限
53
等差数列であるから
p=1 のとき,an+1=an+2より, 数列{an} は初項 2, 公差 2 の
an=2n
の値により, 場合分
けをする。
p=1 のとき, an+1=pan+2 を変形すると
特性方程式 α = pa+2
2
an+1+
2
ant
2
p-1
から α=--
p-1,
p-1
2
な
また
2
2
a+
・=2+
2p
2
E
p-1
p-1
2+
p-1
p-1
よって, 数列an+ 2
1] {an +
は初項
2p
2(p-1)+2
p-1
p-1'
公比』の等比数列で
p-1
あるから
2
an+
2p
=
.
p-1 p-1
p"-1
ゆえに
an=
2p" 2 2(p"-1)
18+
=
p-1 p-1 p-1
したがって, 数列{an} の一般項は
mil (E)
=1のとき an=2n,
=1のとき an=
2(p"-1)
p-1
また, p=1のとき
liman=lim2n=∞
n→∞
n→∞
EXE
OS
よって、 数列{an} は収束しない。
1 << 1 のとき, limμ"=0 であるから
n→∞
liman=lim
n→∞
2("-1)_ 2
=
n→∞
p-1 1-p
>1 のとき, lim=∞, 1>0 であるから
n→∞
liman=lim
2(p"-1)=00
=8
818
n→∞
p-1
◆r” を含む式の極限は,
[+[x]> r=±1 を場合の分かれ
目として, 場合分けして
考える。
Jed
か≦-1 のとき, 数列{p"} は振動するから, 数列{an} も振動す
る。
したがって, 求めるの値の範囲は-1<<1
[201]

Answer 1

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和

①
確かに2枚目4行目の式はp=1では定義されませんが、
そもそも与えられた漸化式はp=1で定義されます

もとの漸化式がp=1で定義される以上、
最後の答えはp=1の場合も合わせて答えるのは当然です

1か1でないかで場合分けするのは、
0かもしれない式p-1で割りたいからです

②
rⁿが収束する条件は-1<r≦1ですが、
rⁿを含む式は必ずしもそうではないので、
個別に調べています

かなかな

②は公比が必ずしも-1<r≦1とは限らないからということでしょうか

和

ここではpがrの代わりですね
pⁿ自体は収束条件は-1<p≦1です

(an)は等比ではないので、
公比という概念もありません
pⁿの収束・発散とanの収束・発散は別です

pⁿの収束・発散によって
anが収束するか発散するかを調べます
自明じゃありません

かなかな

ありがとうございます