Question

R

漸化式で

I枚目のような最後が定数の式は普通に終われるのに

ニ枚目のように最後がnの一次式の式は階差数列で求めないといけないのはなぜですか？

赤線引いているところで終わりにならないのはなぜですか？

464
基本 例題 34 αnt=pan+g型の漸化式
00000
P.462 基本事項 2 重要 38, 基本48,51
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
a1=6, an+1=4an-3
同じ文字におきかえる
=1,g≠0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.462 基本事項
_α-3を満たすα に対して,次のように変形
an+1=40-3
した特性方程式を利用する方法が有効である。
an+1-α=4(an-α)
-
- 等比数列の形。
-L α=4α-3
解答
an
は???
する。
an+1-α=4(a-a)
CHART 漸化式 α+1=pan+g 特性方程式 α=pu+gの利用
an+1=4an-3 を変形すると
an-4(an-1)
-1=6 とおくと
bn+1=46n, b1=a-16-1=5
よって,数列{bm}は初項 5,公比4の等比数列である
1α=4α-3の解は
なお、この特性方
を解く過程は、解
かなくてよい。
91-12 lis
から
6n=5.4-1
ゆえに
A2-1-2
別解 an+1=4an-3
a3-10b3
おくと
an+2=4an+1-3
......
an=bn+1=5.4"- '+1
①でnの代わりに n+1と
②
anan+1慣れてきたら、
まま考える。
② ① から an+2-an+1=4(An+1-an)
定数部分(「一
数列 {az} の階差数列を {bm} とすると
bn+1=4bn, bi=az-a1= (4・6-3)-6=15
a2=4a1-3
よって, 数列{6} は初項 15, 公比4の等比数列である
から
bn=15.4-1
ゆえに,n≧2のとき
n-1
(*)
An=a1+15.4-1 = 6+
k=1
=5.4-1+1
n=1のとき 5.4°+1=6
15(4"-1-1)
4-1
③
n≧2 のとき
an=a+2
k=
a =6であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=5.4" 1+1
初頭は
参考 (*)で数列{bm} の一般項を求めた後は,次のようにするとこの計算をしな
(*)から
Anti-a=15.4"-1
①をする
(1g-3)-=1

y=x
x
基本例
例題
35 an+1=pan+(nの1次式)型の漸化式
00000
|a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
・基本 34
指針 p.464 基本例題 34の漸化式an+1=pan+g で, gが定数ではなく, nの1次式となっ
ている。このような場合は, n を消去するために階差数列の利用を考える。
-
漸化式のnをn+1 とおき, α+2 についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-an} についての漸化式 を処理する。
また、検討のように,等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1) ②
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
解答
② ①からな~
an+2
ran+1=3(An+1-an) +4
差を作り, n を消去する。
an+-an=bn とおくと
・bn+1=36+4
これを変形すると bn+1+2=3(bn+2
また
61+2= az-a1+2=7-1+2=8
{bn}は{a}の階差数列。
α = 3α+4 から α=-2
a2=3a+4・1=7
=X
よって, 数列{bn+2}は初項 8, 公比3の等比数列で
(*)
n≧2のとき
n≧2のとき
と1
8(3-1-1)
-2(n-1)
an=a₁+Σbk
1
k=1
bn+2=8・3n-1 すなわち b=8.3"-1-2
an=a1+ (8.3k-1-2)=1+ 3-1
k=1
=4・3n-1-2n-1
③
n=1のとき 4.30-2-1-1=1
q=1であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3"1-2n-1
初項は特別扱い
(*)を導いた後, an+1-an=8.3"-1-2に①を代入してαを求めてもよい。
{an-(an+β)} を等比数列とする解法
例題はan+1=pan+nの1次式)の形をしている。そこで,f(n)=an+βとして,
検討
Qn+1=3an+4nが,an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
Aの形に変形できるようにα,
の値を定める。
al_a_(an+B)}

漸化式

Answer 1

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やさしいスライム

質問を3つに分けてみました
【なぜ階差数列出てくるか？】
○二枚目の式は
b[n+1]＝■　※■で省略
➾a[n+1]−a[n]＝■
➾a[n+1]＝a[n]+■　
■が数字だったら等差数列(等差は数字)
■がnの式だったら階差数列(等差はnの式)
となります
つまり１枚目は等差、2枚目は階差ですね

【階差数列を使うべきか？】
いいえ。わざわざ使う必要ないです。
二枚目の式はさっきの説明通り
a[n+1]＝a[n]+■となります
問題文のa[n+1]＝3a[n]+4を代入したらOKです。

【なぜ赤線のところで終わらないか?】
2枚目は１枚目と同様b[n]は自分で置き換えた
ものなのでa[n]にする必要があります。

あと１枚目の【は？】って書いてるところは
解決できているのですか?

R

ありがとうございました

は？？？の部分は、理解出来てます