解答
基本
例題
29 同じ数字を含む順列
00000
1,2,3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚 3枚 4枚ある。 これらのカー
ドから4枚を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。
指針
基本 27
同じ数字のカードが何枚かあり (しかし, その枚数には制限がある), そこから整数を
作る問題では, まず 作ることができる整数のタイプを考える。 本間では,使うこ
とができる数字の制限から、次の4つのタイプに分けることができる。
AAAA, AAAB, AABB,
AABC
A, B, C は 1, 2, 3のいずれかを表す。
このタイプ別に整数の個数を考える。
1,2,3のいずれかを A,B,C で表す。ただし, A, B,
Cはすべて異なる数字とする。
次の [1]~[4] のいずれかの場合が考えられる。
[1] AAAAのタイプ
つまり、同じ数字を4つ含むとき。
4枚ある数字は3だけであるから
[2] AAAB のタイプ
つまり、同じ数字を3つ含むとき。
1個
新金)
3枚以上ある数字は2,3であるから,Aの選び方は
2通り
Aにどれを選んでも, Bの選び方は2通り
①とり出し方で場合分け
② 並べ方
Cat
1
3333 だけ。
-
222 □は1,3)
または
377
章
⑤組合せ
そのおのおのについて, 並べ方は
4!
=4(通り)
3!
333 □は1,2)
よって、このタイプの整数は
2×2×4=16個)
[3] AABB のタイプ
41122, 1133, 2233
つまり、同じ数字2つを2組含むとき。
1 2 3 すべて 2枚以上あるから,A,Bの選び方は
AP J3C2D
1, 2, 3 から使わない数
を1つ選ぶと考えて、
3C通りとしてもよい。
4!
そのおのおのについて, 並べ方は
=6(通り)
2!21
よって、このタイプの整数は
2×6=18(個)
C2=C₁=3
[4] AABCのタイプ
つまり同じ数字2つを1組含むとき。
Aの選び方は3通りで, B, CはAを選べば決まる。112322133312
の3通りがある。 なお,
そのおのおのについて, 並べ方は 2!
(通り)
よって、このタイプの整数は
(個)
3×12=36
例えば1132は1123と同
じタイプであることに注
意。
以上から
1+16+18+36=71(個)
SSD
4を使って4桁の整数を作る。 このよ
ありがとうございます！