Question

May3

漸化式の質問です
わからないところ書き込みました

漸化式数列
y y=x+d
an
a2
=rx
a.
y=x
a3
x
y
例題
基本例
35 an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式
/a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
基本 34
指針 .464 基本例題 34の漸化式 anti = pan+g で, gが定数ではなく,nの1次式となっ
ている。 このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
→
漸化式のnn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-an} についての漸化式を処理する。
また、検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式 α+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
an+2=3an+1+4(n+1)
......
① とすると
②
an+2-An+1=3(an+1-an)+4/
-an=bn とおくとbn+1=36+4
解答
② ①から
an+1
これを変形すると
また
bn+1+2=3(6n+2)
b1+2=az-a1+2=7-1+2=8
よって,数列{bn+2}は初項 8,公比3の等比数列で
bn+2=8•3-1 すなわち bn=8•3"-1-2
n2のとき 階
(*)
n-2
an=a1 (8.3k−1—2)=1+
8(-1)
--2(n-1)
3-1
n-1
k=1
=4・3n-1-2n-1
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
467
×
①のnn+1 を代入す
ると② になる。
差を作り, n を消去する。
<{bn}は{}の階差数列。
α=3a+4から α-2
1a2= 30+4.1=7
2のとき
n-1
an=a+bk
+b
k=1
k-1akkh-lを代入したらn-2
α=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
よう。
したがって an=4.31-2n-1
=3x-4
初項は特別扱い
(*)を導いた後, 4n+14=8・3"-1-2に①を代入して am を求めてもよい。
1
草

数列

Answer 1

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ものぐさ

シグマの公式の等比数列の和の所を確認したほうがいいです。シグマをk=1のとき2のとき
…n-1の時と展開した場合は3^(k-1)のkに代入していくというのはまちがっていませんが
和を出す時には3^(k-1)のkにn-1を代入してるわけでは無いですよ。

それと等比数列の和の公式は文字で覚えるより
初項×(公比^項数-1)/(公比-1)と言葉で覚えておくべきです。
この場合初項はk=1のときなので8×3^(k-1)から8
公比はkが1増えると8×3^(k-1) は3倍になるので3
項数はk=1からn-1までなので全部でn-1
だから8(3^(n-1)-1)/(3-1)

May3

わかりました
ありがとうございます