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どう発想するか、は答えるのが難しいですが…
連続する100個の合成数を1組挙げれば終わりです
連続する100個の整数は、○を正の整数として
○, ○+1, ○+2, ……, ○+99
のような感じです（一例）
これらがすべて合成数なので、
まず○は合成数です
○+2が合成数ということから、
○が2を因数にもつ場合を考えます
そうすれば、(2の倍数○)+2は合成数です
（○+2が合成数⇒○は2を因数にもつ、
もたなくてはならない、ということではありません）
○+3が合成数ということから、
○が3を因数にもつ場合を考えます
……
○+99が合成数ということから、
○が99を因数にもつ場合を考えます
（○+1が合成数、からは特に何も得られなそうです）
ということで、○が
とりあえず2,3,……,99を因数にもつ場合
○ = 2×3×……×99×(正の整数)
= 99!×(正の整数)
を考えます
この時点で、○は階乗に関わる数です
101!でも102!でも103!など
（100!や99!、……はダメです、後述します）
○ = 99!×(正の整数)のとき、
○と、○+2, ……, ○+99は合成数です
しかし、○+1が合成数かはわかりません
よって、○+1と○は捨てて、
○+2以降で連続100個を考える、
というふうに話をアップデートします
○+2, ……, ○+99, ○+100, ○+101
です
○+100, ○+101も合成数にするので、
○も101!に修正します（102!以降でもよい）
○が100!, 99!, ……だと、
少なくとも○+101が合成数ではなくなるので
まずいです
