Question

Σ

なぜfn(x)はanx+bnとおけるのですか

79.1次式fn(x) (n=1, 2, 3, ...)が
ƒ₁(x)=x+1,__x²ƒn+1(x)=x³+x²+*tfn(t)dt
を満たすとき, fn (x) を求めよ.
(n=1, 2, 3, ...)
(小樽商科大)

解法のポイント]
fn(x)=anx+bn(n=1, 2, 3, …)とおき, 条件式の両辺の係数を比べる。
【解答】
fn(x)=ax+b, (n=1, 2, 3, …) とおくと,あれば」(a)も増加する。
St(t)dt=S" (ant2+b,t) dt
==
1
x
-a
2
=
に
1
3
1
anx³ + bx²)
2
より,
x²fn+1(x) = x³+x²+ √³ tfn(t) dt
An+1x ³ + b + 1 x ² == ( — —³an + 1 ) x ³+
(zon+1)+(2/20n+1).
これがxについての恒等式であることから,
る。
1
an+1=
= an+1,
3
1
bn+1=-bn+1.
2

Answer 1

らい

1次式と書いてあります

Σ

なぜax+bとは置かないのでしょうか。

らい

ax+bと書いてもいいですが、今回はf_(n+1)とf_(n)の関係が示されていて、f_(n+1)の係数とf_(n)の係数も影響し合うのは予想できるので、漸化式のように解くためにa_n,b_nのようにおいています。