Question

りの

(2)の問題で因数10の個数と素因数5の個数が一致する理由が分かりません。教えて頂きたいです。

*246 1から400までの400個の自然数の積 N=1・2・3········
400 について,
次の問いに答えよ。
N を素因数分解したとき, 素因数5の個数を求めよ。
N を計算すると, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。

(1) 1から400までの自然数のうち,
5の倍数の個数は
51 52 53, ......,
5.80 の 80個
52の倍数の個数は
51,522,523,..., 52.16 の 16 個
53の倍数の個数は 008
5.1, 52,
53.3 の 3個
よって、素因数5の個数は全部で .s
80 +16 +3=99
(2) 末尾に続く 0 の個数は,N=1・2・3
400
に含まれる因数10の個数であり, 10は2.5と素
因数分解される。
1, 2, 3,
OST
400 に含まれる素因数2の個数
は、明らかに素因数5の個数より多いから,因
数10の個数は素因数5の個数と一致する。
したがって, Nを計算すると、末尾には0が連
続して 99 個並ぶ。
参考
1からnまでの自然数のうち, kの倍数の個
数は,nkで割ったときの商である。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

素因数2は、
2から1個、
4(=2²)から2個、
6(=2×3)から1個、
8(=2³)から3個、
10(=2×5)から1個、
12(=2²×3)から2個、
……、
400(=2⁴×5²)から4個
出ます

素因数5は、
5から1個、
10(=2×5)から1個、
15(=3×5)から1個、
20(=2²×5)から1個、
25(=5²)から2個、
30(=2×3×5)から1個、
……、
400(=2⁴×5²)から2個
出ます

圧倒的に5のほうが少ないです
これは自明とされます
で、素因数2が1個と、素因数5が1個を1ペアとして、
因数10が1個できます
ということは、より少ない5の数だけ10ができます

たとえば1,2,3,…,10の中に含まれる素因数2は
上で書いた通り1+2+1+3+1=8個です
素因数5は1+1=2個です
2と5を1ペアにしていくと、2ペアだけできます
これが因数10の数です
素因数5の数と一致するのはこういうわけです

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
=2×2×2×2×2×2×2×2 ×5×5 ×3×3×3×3×7
=(2×5)×(2×5) ×2×2×2×2×2×2 ×3×3×3×3×7
=10×10 ×2×2×2×2×2×2 ×3×3×3×3×7
5の数だけ10ができます

りの

とても分かりやすい説明ありがとうございます。
理解することができました！