まず、aの値によってこのGというグラフが動いていくイメージを持てていますか？数2の「図形と方程式」という単元で習う軌跡の考え方なのかなとも思いますが、このグラフの頂点は(a,a)であるから、aが1なら(1,1)、aが2なら(2,2)のようになります。つまり、aが増えたときにGの頂点はy=x上を↗方向に進んでいくイメージになります。
このイメージが持てたら、あとは各辺と交わる条件を地道に調べていきます。
辺ABについて
aを-2から増やしていくといずれ2次関数の左側半分がBと交わること（写真1枚目のa=-0.3）が考えられます。Bと交わるケースは3のiで求めていますが、ここで得られた2つの解は、2次関数の右側で単調増加しながらBを通るケースと、左側で単調減少しながらBを通るケースを表しています。左側で単調減少しながらBを通るケースの方がaは大きいはずなので、求めたかったaはa=(-5±√17)/2だと分かります。
また、aを増やすと右側半分がAより右に行って交わらなくなることも予想できます。iと同様にAと交わる条件を求めるとa=1,2と求まり、a=1が2次関数の右側で交わる場合、a=2が2次関数の左側で交わる場合です。
よって辺ABと交わる条件は写真2枚目のようになります。
辺ACに関して
x=2を代入したときのy、つまりa²-3a+4が-2以上2以下になる条件を調べればよくて、計算するとaは1以上2以下です。
辺BCに関して
y=-xを代入して判別式を考えたら、(1-2a)²-4(a²+a)=1-8a
つまりa=1/8のとき1点で接する、それよりaが大きいとき交わらないことがわかります。
問題は2点で交わるときで、2点で交わるとしてもそれが-2以上2以下の間にあるかどうかは考えないといけません。ただ、ABについて考えたとき、-5+√17/2よりaが小さいと、Bと交わらないことが分かっているので、2点で交わる条件は、-5+√17/2よりaが小さいことだと分かります。
実際にグラフを書いてみてどんな時にどう交わるのか考えて解いたので感覚的になってしまいましたが、具体的に解を求めてゴリゴリ計算しても解くのはあまりに計算大変かと思います。もしかしたらもっと上手くやれるかもしれません。
