Question

(⁠*ϋ⁠*)

不會這題 想請教 謝謝！
高一下 遞迴

一、填充題
1.設數列<a>的遞迴定義式為.
7-
4
71
1
3000
5
11
a=
4"
a-1' n
-的最小正整數n為【
a2 = 5-91
42
a3 = 52-A2
,若S表示<a>的前n项和,則使得
An =
5
和
n
-an-1

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

qn

觀察：
a₁ = 1/4
a₂ = 1/16
a₃ = 1/64
猜測：aₙ = 1/4ⁿ
證明：
當n=1時，a₁=1/4，命題成立
設n=k時命題成立，即 aₖ=1/4ᵏ
則 aₖ₊₁ = 5/4ᵏ⁺¹ - aₖ
= 5/4ᵏ⁺¹ - 4/4ᵏ⁺¹
= 1/4ᵏ⁺¹
故n=k+1時，命題也成立
因此，由數學歸納法可知，aₙ=1/4ⁿ 對於所有正整數n均成立

由於Sₙ是等比級數，可知
Sₙ = ¼ × (1 - 1/4ⁿ)/(1 - ¼) = ⅓(1 - ¼ⁿ) = ⅓ - ⅓·¼ⁿ
|Sₙ - ⅓| = ⅓·¼ⁿ ≤ 1/3000
3·4ⁿ ≥ 3000
4ⁿ ≥ 1000
故 n ≥ 5

(⁠*ϋ⁠*)

謝謝/ ~