Question

もちもち

【解答審査お願い🥺】
この問題の（2）の変形が自分には絶対思いつかないなと思ったので自分で調べて誘導なしで極限を求めてみたのですが、解答はこれであってますか?誰から教わったわけでもないので心配です、、、何でもいいので指摘&こうするといいかも的なアドバイス欲しいです！

45 はさみうちの原理(II)
数列{az} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, …)をみたす
ものとする。 このとき, 次の(1),(2),(3)を示せ.
の
(1) n=1,2,3,
に対して, 0<a<3
n-1
...
(2)n=1,2,3, ··· に対して, 3-an≦
(3) liman=3
に対して, 3-ax = (1/3)" (3-a)
量+
n→∞

1451
Q=1++を満たすよを考える(よ>0)
よーにJRの両辺を2乗して
(F-1)²=1+f inf(2-3)=0:-f=3(270)
次に与式の両から人をひくと
Au+1-3=√1+an-2=
両辺の絶対値をとると
an-3
11+an+2
<
J+0m+210-31 1/10-31
10n+1-31= √11+
これより1
1012-31α-31
103-31<= 1012-31
1014-31< = 1613-31
X) an-31</an-1-31
1am-31<(z) 10-31 0≦lan-3147a1-31
(土)119-310からはさみうちの原理より
linan-31-0 : un An = 3
h>00
ho
tc

極限値 はさみうちの原理 解けない漸化式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

特に問題ないと思います

が、それはもはや模範解答とほぼ変わらないと想像します

模範解答も、きっと分子の有理化もしているでしょう
√aₙを含む分数を定数に置き換えて
不等式をつくっているでしょう
漸化式を繰り返し用いて0に収束する不等式を
つくっているでしょう

初心者から見たら、あなたの答案も十分
「知らないと思いつかない処理」をいろいろしています
そういう意味では、その答案がつくれるなら、
模範解答も読み込んでものにした方がいいと思います
（多分あなたの書き方の方が一般的だと思いますが）
模範解答は(1)の誘導も活かしているでしょう

ところで中盤の1 / (√(1+aₙ)+2) < 1/2ですが、
(1)の0<aₙを活かすとすれば
1 / (√(1+aₙ)+2) < 1 / (√(1+0)+2) = 1/3
とすれば(2)で示す式に近づきそうですね

今回は「誘導に乗らなかったら」の質問ですが、
実際問題無視できない「誘導に乗る」方向を絡めて
回答してみました

もちもち

なるほどそういう視点はなかったです。この（2）の変形がなぜ思いつくのかが想像できず困ってました。解答ありがとうございます！

Answer 2

よし

その解答でも大丈夫だと思います‼️不等式の絞り込みができているのが良いですね。