Question

りゅう

解答の 増加するから、以降の解説が全く分かりません。
どなたか解説お願いします。

2
(an) in 211/2/11
基本 例題 029 関数の極限 -δ論法の基本
(am) = f(s) th
★★
The
を払えよ!
関数f(x) =x2+1は, x→1で2に収束する。 E0.05 0.005 のとき
|x-1|<8 ならf(x)-2|<g を満たすような正の実数の値をそれぞれ1つ定め
よ。また、一般ののときはどうすればよいか。
指針 e-δ論法(基本例題 030 の指針参照) の言葉で
ya
x→1のときf(x) 2になる事実
.
6
2<y<2+s をとっても、それに対応してx=1を中心とす
る範囲 0<x-1|<8 を十分小さくとれば、この範囲のすべて
のxに対して y=f(x) の値が2-s<y<2+e の範囲に含まれ
る」 ということである。
を説明すると 「y=2 を中心とするどんなに小さい範囲(1+8)
S
2+cl
2
f(1-0)
2-
1
この収束を示すには、y軸の区間 2-e<y <2+e が任意に与
えられたとき, x軸の区間 0<|x-1| <δをみつけることにな
る。
01 - 8 11+8
f(1+δ)-2>2-f(1-δ) であるから,まずはs=0.05,0.005 の場合に具体的に計算をしてか
ら 「f(1+8) <2+s ならばf (18) >2-c となること」 を示す。 これにより,f(1+8)=2+s
という式から上限となるδを決定できる。 または「任意の正の数」であるから,<e
の場合だけでなく, >1の場合も別に考える。
E-δ論法の詳しい説明は本書の53ページまたは「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分
の61,62ページを参照。
解答 f(x) は x>0 の範囲で単調に増加するから、ff(1-6)>2-6
かつ f(1+δ) <2+ となる正の数δを1つ定めれば,
1-8 <x<1+8となるすべてのxに対して2-s<f(x) <2+s
が成り立つ。
[1]=0.05 のとき
(0.95)=1.95, (105) 2.05 であるから,
1-δ<x<1+δとなるすべてのxに対して
2<f(x) <2+が成り立つための条件は
180.95 かつ 1+1.05
である。
例えば,8=0.01 とすると
(18)=0.992=0.9801 0.95 より
(1+δ)²=1.012=1.02011.05 より
1-8≥√0.95
1+8√1.05
E-δ論法の基本
を満たしている。

Answer 1

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哲治

これもεδの定義どおり書いてるだけ。
１の前後δ幅でf(x)は２の前後εの幅に入ってこなければならない。
図面を見れば言ってる意味がわかると思います。
後はその図面に合うように不等号の向きを合わせて不等式を解くだけ。

りゅう

ありがとうございます！！