Question

mugi.

数Bで
a[1]=1、a[2]=4、a[n+2]-6[an+1]+9a[n]=0によって定められる数列｛a[n]｝の一般項を求めよ。
という問題について。

画像の解答のようにb[n+1]-b[n]=-1/9とありますが、これが階差数列ではなく、公差として求めるのはなぜですか？
調べてみると、「公差は定数であるとき、階差数列は定数ではないとき」と出てくるのですが、今回の問題で定数であることはどこからわかりますか？

初項はα=1であるから,この式はn=1のとき
5,8
にも成り立つ。
6-(-4)-1548
よって
an=
19
5
交
PIO
...
88 漸化式+2-6an+1+94„=0を変形すると
an+2-34n+1=3 (4万+1-34 )
よって、 数列{4月+1-30 月}は公比3,初項
a2-3a1=1の等比数列であるから
an+1-3am=3"-1
(2)
月
②
an+1
an
両辺を 3"+1で割ると
3n+1
1
3" 9
=
3
bm=0とすると bn+1-6,
=
1-9
よって,数列{bm)は公差 13 初項 b1=
(2)
の等差数列であるから b₁ = 1/3 + (n − 1). — 1
すなわち by
=
+
2
9
J
したがって a=3"b=(n+2)・3"
89 (1) an+1=2an+bn
******
①
bn+1=3a,+4b,
・・・・・
②
①+② から
an+1+6+1=5(a+b)
よって, 数列{a,+6,} は公比 5, 初項
a + b1 = 8 の等比数列であるから
a+b=8.5"-1
*****
38
CA

Answer 1

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み

Bn+1-Bnの意味はわかっているでしょうか？

例えばn=1のとき、
B2-B1、つまり初項と第2項目の差を求めています。
それが公差です。
だから今回の場合、公差が1/9とでてきたので
公差1/9の等差数列になります。

階差数列の場合は定数ではなく、nの式などになります。
例えばAn+2^nというようなものです。