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原則的に、become のうしろには補語として、名詞・形容詞・過去分詞が来ます。
become quite severely では、quite も severely も副詞なので、become の補語にはなり得ません。
それから、became severe は「病気(痛み)が深刻な状態になる」の意味です。become severely とは言わないのです。どうしても severely を使う必要があるなら、become/be severely ill という表現はかのうです。