✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
雑な解答ですが、計算すると以下のようになります。
＜解法１＞
題意から|z+1|=1、w=1/zを代入すると
|1/w+1|=1
|1+w|=|w| … 原点と点－1の等距離を意味する
w=x+iyとすると、w=－1/2
＜解法２＞（解法１をもう少し計算してみる）
|1+w|=|w|の両辺を2乗する（ｗ‾は共役）
(1+w)(1+w‾)=ww‾
⇒1+w+w‾+ww‾=ww‾
⇒w+w‾=－1 （w=x+iyとすると）
⇒2x=－1
x=－1/2 … w=－1/2
＜解法３＞（z=a+biとして計算、原点(a=0,b=0)以外）
|z+1|=1
⇒ |a+1+bi|=1
⇒ (a+1)²+b²=1
⇒ a²+b²=－2a …①
⇒ b=±√{－a(2+a)} (－2≦a<0)…②
w=1/z
w=1/(a+bi)
=(a－bi)/{(a+bi)(a－bi)}
=(a－bi)/(a²+b²)
=－(a－bi)/2a ①を代入
=－1/2±√(－2a－a²)i/2a ②を代入
=－1/2±|a|/a√－(2/a+1)i/2
=－1/2±√－(2/a+1)i/2 (a<0なので±逆転するが、影響しないのでそのまま)
－2≦a<0のとき、0≦√－(2/a+1)/2<∞
k=√－(2/a+1)/2 とおくと
=－1/2+iｋ (－∞<k<∞)
⇒ w=－1/2 (虚部はik：－∞<k<∞)
ありがとうございます🙇♀️