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too heavyは何も問題ないと思います。
by the timeについては、文法的には全く問題ありませんが、お題の日本語とは微妙にニュアンスは違ってきますね。
私たちが空港に「着くまでに」と「着いたときに」じゃやっぱり違いますよね。「着くまでに」は「着く前に」ということだから、例えばbeforeと比較するならどっちでもいいんじゃない?って思うけど
ただ、過去完了形をつかうことで
by the timeでもwhenでも、
結果として言ってることは同じになるから
採点基準次第かもしれませんけども
注意
by the timeを使用しても英語の文として問題はありませんが、問題文の日本語からby the timeを使用するよりも「ついた”とき”」となっているのでwhenを使用した方がいいと思います。