Question

ℎ

同値関係の質問です。
RはA上の同値関係か分からないのに勝手にひっくり返しちゃって良いんですか？

定理 2.6. ab∈ A とせよ。 a,bに関する次の3条件は,互いに同値である。
(1) aRb
(2) C(a)C(b) 0
(3) C(a)=C(b)
証明. (1)
(3)xeC(a) とすれば,∈AであってæRa である。 仮定によりaRb であるの
で,Rb が成り立ち, TEC (b) が得られる。 故にC(a) CC である。 さて, aRb であるの
でbRa でもあり、故に a,bの役割をひっくり返すことによって, (b) C (a) であることが
従い, 等式C(a)=C (b) が得られる。
(3)
(2) C(a) = C (b) であるからC(a)(b)=C (α) である。 勿論 C (α) ≠ 0 であるか
ら, (a) (b) ≠ 0 となる。
(2) (1) 集合 C (a) nC (b)は空でないので, 少なくとも一つの元 c∈ C' (a) C (b) を取る
ことができる。すると c∈ C (a) であるから, c∈Aであって cRa である。 故に aRe でもあ
る。同様に,c∈C (b) であるから, cRb が成り立つ。 即ち aRe かつ cRb であるから, aRb で
ある。

Answer 1

ヒラリバタフライ男爵

簡単に まとめてみました。

同値関係の条件として
　aRb ならば bRa
という交換法則みたいなのがあるので
『A 上の』同値関係かどうか不明でも
同値関係ならば、ひっくり返して OK です。

それに、画像の定理には直接は書かれてないですが、
R が A 上の同値関係であることを前提に
話をしているように見えます。

そうじゃないと aRb という表記をしないと思うので。