Question

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高一 二次関数の問題です。

(3)のx=tで最小、x=tで最大 でつまづいてます。
なぜそうなるのかを教えてください🙏

3
2次関数 (20点)
2次関数 f(x) = 2x + αx がある。 ただし, は定数とする。
(1) y=f(x) のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2)
x1 における f(x) の最大値が6となるような」の値を求めよ。
2
(3)2次関数g(x)=-x+4x がある。 α を (2) で求めた値とし, tは定数で t> -2 とする。
−2≦x≦t における f(x) の最小値をm, -2≦x≦t におけるg(x) の最大値を M とす
るとき,M+m > 2t となるようなtの値の範囲を求めよ。

f(x) は x=-3 で最大となり, 最大値は
y=f(x)
軸 x=-- が定義域の中央より右
f(-3)=18-3a
よって
18-3a=6
側にあるから, 定義域の左端 x=-3
で最大となる。
a=4
これはα <7 を満たすから適する。
(i), (ii)より, 求めるαの値は
O
x
場合分けの条件を満たしているか
を吟味する。
a=4
答 a=4
完答への
道のり
AE 定義域の中央と軸の位置関係から2つの場合に分けて考えることができた。
BF それぞれの場合において, f (x) の最大値をαを用いて表すことができた。
© G それぞれの場合において, f(x) の最大値が6となるαの値を求めることができた。
DH それぞれの場合において,αの値が場合分けの条件を満たしているかを吟味することができた。
(3)
(2)より, a=4であるから
f(x) = 2x°+4x=2(x+1)-2
また
g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4
よって, それぞれのグラフの軸 x=-1, x=2 が定義域 −2≦x≦t に
含まれるかどうかで場合に分けて考える。
(i) -2<t <-1 のとき
f(x) は x=t で最小, g(x)はx=t で最大となるから
m=f(t) =2t°+4t
y=f(x)
VA
f(x), g(x) がそれぞれ最小値,
最大値をとるxの値によって3つ
の場合に分けて考える。
1y=f(x) のグラフの軸, y=g(x)
のグラフの軸がどちらも定義域に含
まれない場合。
M=g(t) =-t + 4t
よって
M+m=(-t+4t) + (2t2 + 4t)
=t+8t
M+m > 2t より
t²+8t-2t
t + 10t > 0
t(t+10) > 0
これを解くとt <-100 <t
(ii)
(iii)
これは-2<t<-1 を満たさないか
y=g(x)
ら不適。
(ii) -1≦t <2のとき
f(x) は x=-1で最小, g(x)はx=tで最大となるから
m=f(-1)=-2
M=g(t)=-t°+4t
よってM+m=-t+4t-2
M+m > 2t より
t+4t-2> -2t
t-6t+2<0
これを解くと3−√7 <t < 3+√7
-1≦t <2 より 3-√7 <t < 2
- 32-
場合分けの条件を満たしているか
を吟味する。
y=f(x) のグラフの軸は定義域
に含まれるが, y=g(x) のグラフ
の軸が定義域に含まれない場合。
4 <7 <9 より 27 <3
よって
03-√7 <1,5 <3+√7 <6
場合分けの条件を満たしているか
を吟味する。

Answer 1

GDO

余計な部分が多いと混乱してしまうので、-2≦x≦-1の部分だけのグラフを描いてみると、
-2≦x≦t(≦-1)のときの最大・最小が見えてきますよ。
（模範解答は、y=g(x)のグラフが切れてしまってるので、分かりにくいですね）