Question

みみ

三角関数の問題なのですが、なぜ分母が０になる必要があるのかわからないです。教えて頂きたいです。

π
21
総合 0<< とする。 cos0 は有理数ではないが, cos20 と cos 30 がともに有理数となるような
の値を求めよ。 ただし, pが素数のとき, VD が有理数でないことは証明なしに用いてよい。
[京都大〕
本冊数学Ⅱ 例題 154
cos20=2cos20-1から
050-1
cos 30=4 cos³ 0-3 cos 0=(4 cos³ 0-2 cos 0)-cos
2倍角の公式。
←3倍角の公式。
=2cose (2cos20-1)-cos0=2cos ecos 20 - cosed-a
=cos 6(2cos20-1)
ここで, 2cos20-1 ≠0 とすると cos =
cos 30
2 cos 20-1
①
cos 20, cos 30 がともに有理数であるとすると、 ① より cose(0.0)=(8.1)
も有理数となる。
よって、条件を満たすには 2cos 20-1=0でなくてはならない。 ←2cos20-1=0である
1
ことは,条件を満たすた
すなわち cos 20=
2
めの必要条件。

Answer 1

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わさび

2cos2θ-1≠0と仮定すると①の式を導くことができますが、
これがcosθが有理数になることを示しており、
問題の条件に合わなくなります

つまり仮定そのものが間違っていたことになるので、
2cos2θ-1=0となる必要があることがわかります。