Question

みこと

写真の質問に答えてください！

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重要 例題 174 曲面上の最短距離
右の図の直円錐で,Hは円の中心,線分 AB は直径,
OH は円に垂直で, OA=a, sin=1/3 とする。
点Pが母線 OB 上にあり, PB=
点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経
路の長さを求めよ。
a
B=/1/3 とするとき,
解答 sin= =1/3であるから
AB=2r とすると,△OAH で, AH=r, ∠OHA=90°,
r_1
----
円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。 そこで、曲面
側面の展開図は扇形となる。
を広げる,つまり 展開図で考える。
なお,平面上の2点間を結ぶ最短の経路は、2点を結ぶ線分である。
a
側面を直線OA で切り開いた展
開図は、図のような, 中心 0,
半径OA=αの扇形である。
中心角をxとすると、図の
弧 ABA' の長さについて
2ла•
r_1
360°
-= 2πr
-であるから
-
a
3
B
P
0
x=360°
=360°/1-120°
a
ここで, 求める最短経路の長さは、図の線分 AP の長さで
あるから、△OAP において、余弦定理に
理により
より
AP2= OA2+OP2-20A ・CPCO 6'0
a ² + ( 1²/3-a) ². -2a---a
a.
9
AP >0であるから, 求める最短経路の長さは
-a²
A'
誰
√7
A
00000
0
iz.
この式体
a
基本153
HE
S
20115
【弧 ABA' の長さは,底面
の1の円周に等しい。
2点S, T を結ぶ最短の
経路は, 2点を結ぶ線分
ST
11
ol
2