Question

ひきわり

微分方程式について質問です🙋
ときどき、答えの方程式をどこまで整理して解答すべきなのかが分からないときがあります。
例えば写真の問題(2)のようなときです。
このままの形でよいと書かれてありますが、どういう状態で解答を終了すべきかの目安はありますか？
よろしくお願いします🙇

例題8-2 ベルヌーイの微分方程式:y′+p(x)y=f(x)y")
微分方程式 y/+y=xy3 について, 以下の問いに答えよ。
(1) z=y-2 とおくとき, zが満たすべき微分方程式を求めよ。
(2) 微分方程式 y'+y=xy の一般解を求めよ。
「解説 ベルヌーイの微分方程式:y'+p(x)y=f(x)y" (m=2,3,…) は
1階線形微分方程式の応用である。z=y' -" の置き換えにより, 1階線形微分
方程式になる。
1
[解答](1)z=y-2 より, z'=-2xy-y′ :: y³y'=== Z'
2
さて,y'+y=xy の両辺をy で割ると, y_y'+y^2=x
-z'+z=x よって, z'-2z=-2x ･･ 〔答〕 1階線形になった!
(2) ²'2z=0 とすると,
‥. A(x)=(2x
dz
dx
=(x-2
= 2z
両辺をxで積分すると, fzzdz=f2dx
... log|z|=2x+C z=Ae²x
そこで, z=A(x) e2x とすると,
z'=A'(x)e2x+2zより, z'-2z=A'(x)e2x
よって,²'-2z=-2x の一般解を z = A(x)ex とすれば,
A'(x)ex=-2x ∴.. A'(x)=-2xe-2x
-2xe-2x)dx=xe-2x+
₂-2x
+ 1² e ²³² + c) e ²¹ = x + 1²/² + ₁
e²x
Cezx
よって、12/20a-s+/1/2+c^
よって, z=xe
1
2
1 dz
z dx
e
z=y^2=1/1/12より、(x+12+Ce²)y=1
,2
=2
- 2x + C
･･･ 〔答〕 このままの形でよい。

数学 微分方程式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

y=の形でかけないものはこれでいいです。
媒介変数表示とかで答えになるパターンとかもあります

ひきわり

特に明確な解答はなく、キレイに見えれば何でもいい感じですかね..？

哲治

「きれいに見えれば」というとあいまいですけれど、いろんなパターンあります。

ひきわり

了解です。ありがとうございます。