Question

α

数IIの式と証明「不等式の証明」についての問題です。
(2)の解き方が分からないため、解説をお願いします。

15
不等式では, 特に断らない限り, 文字は実数を表すものとする。
上の基本性質を用いて,次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) a>b, c>d ⇒ a+c>b+d
(2) a>b>0.c>d>0
問4
ac>bd

式と証明 不等式の証明 不等式 証明

Answer 1

say

不等式の問題は山ほどありますが、何れにおいても必ず一番最初に試す方法は引き算です。
なので今回も引き算をします。
そうすると、ac-bd＞0となるので、左辺が0より大きいと言えればOKです。
つまり、不等式の証明から、0よりも大きいことの証明に変わりました。
じゃあ0よりも大きいって言うにはどうしたらいいの？という事ですが、よく使うのは最小値＞0、積の形にして両者＞0のふたつです。
今回文字が複数あるので、最小値は分かり辛いので、積の形にしようと判断します。しかし、積の形にしたくても括れる文字が無いです。
しかし、こういう大小関係を見るために積の形を作る時の常套手段として、大きい方の項をより小さい項に変換するというのがあります。今回c＞dであり、引く項にもdがあることから
引かれる項のcをdに変換します。
そうするとad-bdとなり、d(a-b)となり、両者とも＞0なので
ad＞bdとなります。この時に、cをより小さいdに変換したことから、ac＞adであることは自明(abcdが全て正だから)なので元の証明も出来てることになります。
流れは、引き算→＞0を証明したい→積の形にしたい→小さく評価して積の形にする→元の証明も完了
ここで重要なのは、不等式の大きい方を、比較しやすいようにより小さく変換するという事です。小さくしたのにも関わらず証明が出来たのなら…ってことです

α

ありがとうございました。