Question

あ

(4)なのですが、なぜ数列An-‪√‬2Bnの初項が5-‪√‬2になるのかよく分かりません。

国公立
40
難関
私大
40
もう!
●わからないときは解答解説ページの 「解答の指針」を見てから解いてみよう。
1
自然数の数列{an},{bn}は
(5+√2)=an+bm√2 (n=1,2,3,…)
を満たすものとする。
□1 2 は無理数であることを示せ。
1 (2) an+1, bn+1 をan, bn を用いて表せ。
](3) すべての自然数nに対して an+1+pbn+1=g(an+pbm) が成り立つような定数pg を
2 組求めよ。
□ (4) an bn をnを用いて表せ。
('09 筑波大)

難関
国公立
[40
難関
私大
40
1 漸化式 [2]
解答の指針
はV2が無理数であることを証明する定番の問題だ。 背理法を用いてしっかりと記述し
(2)は, (1) を用いて数列{an} と {bn}の連立漸化式を導く問題である。
数列{an+pbn}が等比数列となるようなμ の値を求める
(8, (4)で,数列{an}と{62} の連立漸化式を解いていく。 一般に連立漸化式で1番多い型は、
の形のものであり、特に多いのは、p=sかつq=rのタイプで、
an+1=pan+gb, ①
bn+1=ran+sbm .... ②
この場合は、①+②と①②をつくると, {an+bn}と{an-bn}がともに等比数列となる。
本問の場合は同じようにはできないので, (3) { an+pbn}が等比数列となるp を求めること
がヒントとして与えられている。 (2) で得られた漸化式から an+1+pbn+1=g(an+pbn) の形
を導き, am
の係数を比較しての値を求めよう。
POINT
数列{an+pb²}と{an+p'bn}の一般項から{an},{bn}の一般項を求める
(3) で得られた2組のp,gの値(一方の”の値をとする)に対して,数列{an+pbn} と
{an+p'bn}が等比数列となることから, {an+pbn} と {an+p'bn}の一般項を求め、その
2式から {an}と{bn}の一般項を求めればよい。
POINT
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう!
Icheck
(1)
(証明)
√2 が有理数と仮定すると,A
√2=n
m
(m,nは互いに素な自然数) ①
とおける。 よって.
2= n²
2m²=n2...... ②
この左辺は偶数であるからも偶数である。
よって, nも偶数で, n=2k(kは自然数) ...... ③
とおける｡
③を②に代入すると,
2m²=4k2
m2=2k2
この右辺は偶数であるから, m² も偶数である。
よって
とおけるが, ③,④は①のm,nは互いに素な自然数であること
に矛盾する。
したがって 2 は有理数でなく, 無理数である。
m=21(Iは自然数) ••••••④
も偶数で,
( 証明終わり)
A 落とし穴
有理数の定義は, 「整数nと
0でない整数mを用いて分数
m
の形に表される数」である。
しかし,その定義で有理数を
仮定しても背理法の証明では
うまくいかない。 背理法で正
の有理数を仮定するときは,
(m,nは互いに素な自然
数)｣ とすることがポイントで
ある。この「互いに素な自然数」
から矛盾が導けることになる。
m
(2)
(5+√2)=an+b√2 ...... ⑤
⑤において,nをn+1とすると,
an+1+bx+1√2=(5+√2)+1 B
=(5+√2)(5+√2)
=(a+b²√2)(5+√2)
=50円+26.+(a +56²)√2
+1, bn+1, 50 +26万 +56 はそれぞれ自然数で√2は無
理数であるから C
an+1=50+26 ...... ⑥
b+1=an+56 ...... ⑦
(3) ⑥ +px ⑦ より
an+1+pbn+1=5an+2bn+p(an+5b) D
ax+1+pbn+1= (5+p)an+(2+5p)6, ...... (*)
すべての自然数nに対して
an+1+pbn+1=g(an+pón).......⑧8
すなわち,
が成り立つには,E
g=5+p ...... ⑨
pg 2+5p ･･････⑩0
14)
を満たせばよい。
⑨ ⑩ に代入すると.
p(5+p)=2+5p
......
(
･(
すなわち, (5-√2)=an-bu√2 ......①
⑤ +⑩1より.
an=
p2=2
p=± √2
p=√2 のとき ⑨ よりg=5+√2, p=-√2 のときq=5√2
よって, (p,q)=(√2,5+√2). (-√2.5-√2) .....(答)
CHECK 数列 (an+pb.) が等比数列となるようなp, qの値を求められたか
⑤-①より
bn =
(4) (p.g)=(-√2.5-√2) のとき, ⑧ より F
an+1-√2 bn+1=(5-√2)(an-√2 bn)
よって,数列{an-√26}は,初項 α1-√261=5√2. 公
5-√2 の等比数列であるから,G
a-√26=(5-√2)"
(5+√2)"+(5-√2)"
2
(5+√2)" (5-√2)"
B ⑤において,n+1とした
式をつくれば
1 bait が
得られるので,
その関係を考
えるのがポイントである。
(答)
CHUT
(
A. B. C. D が有理数のとき、
A+B√2=C+D√2
D POINT 1
⇒ A=Cかつ B=D
自然数は有理数なので、この
性質を用いて有理数部分と無
理数部分を比較した。
数列{an+pbn}が等比数
列となるようなpの値を
求める
(*)と③の右辺を比較して,
be についての恒等式とみて係
数を比較する。
POINT 2
数列{an+pbn} と
{antp'bn}の一般項から
{an},{b }の一般項を求
める
本問では, (3) で求めた
(p.g)=(√2.5+√2) を代入
して得られる式は,最初に与
えられた⑤の式そのものにな
る。したがって, ⑤と⑩の2式
から一般項a b を求める。
G ⑤ でn=1のとき､
a₁+√2b₁=5+√2
1. 61 は自然数√2は無理
数であるから α=5,61=1
2√2
振り返り
Check 2つの数列{a.tpb.}と{antp′bn}の一般項から {an}, {bn}の一般項を求めることができたか
vinity