Question

Nちゃん

大問1の(2)でθの範囲を0≦θ＜2πと置いているのはなぜですか？？
私はπまでの方が都合がいいと思ったのですが…

【解答】
(1) 楕円の式と直線の式からyを消去して整理すると
25x2 + 16kx + 4k2-36 = 0 ...5点
この2次方程式の判別式をDとすると, 楕円と直線が共有
点をもたないので
D
==
4
(8k)² - 25(4k² – 36) < 0
: k> 5 (: k> 0)...10
why!!
(2) P(2 cos0, 3sine) (0≦ 2) とおくと.... 5点
PH の長さは、この点と直線 2x-y+k=0の距離なので
PH =
=
k-5
V5
|k - 3sin0 + 4 cos 0 |
√5
|k - 5 sin (0 + α)|
V5
である。 10点
***
4
3
ただし,αは sin α = - cos α == を満たす角である。
5
5
-5 M5sin (+α)≦5でk > 5 であるからPH の最小値は
>
5点
5点

楕円
1円×2+1=1と直線y=2x+kに対して, 楕円と直線が共有点を持たない
とき次の問いに答えよ。 ただし, kは正の定数とする。
(1) kのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 楕円上の点Pから直線に下した垂線をPHとする。点Pが楕円上を動く
とき,PHの長さの最小値をk で表せ。

Answer 1

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フランクフルト

こんにちは！
今回は原点が中心の楕円ですので、xy軸の上も通りますし、第1、第2、第3、第4象限も全て通ります。
この時に、例えば0からπで取ってしまうと、
P(2cosθ、3sinθ)で、3sinθの部分が常に0以上になってしまいます。そうすると楕円の下半分が表現出来なくなってしまいます。
一方で0から2πまでで取れば、過不足なく楕円状の全ての点を表すことが出来ます。これが0から2πまでを取る理由です。
ちなみにこのsinθとcosθの取り方は楕円の媒介変数表示と一致しています。